25 jan 2018, 19:04
27 jan 2018, 18:23
27 jan 2018, 22:15
Rui Carpentier Escreveu:Seja A o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas e B o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas. Temos então que \(A=(\alpha,0)\) onde \(f(\alpha)=0\Leftrightarrow \frac{a\alpha +b}{c\alpha +d}=0\Leftrightarrow a\alpha +b=0\Leftrightarrow \alpha=-\frac{b}{a}\), logo \(A=\left(-\frac{b}{a},0\right)\). E por outro lado, \(B=(0,f(0))=\left(0,\frac{b}{d}\right)\). Daqui se tira que a equação da reta que passa pelos pontos A e B é \(y=mx+k\) com \(k=f(0)=\frac{b}{d}\) e \(0=m\alpha +k \Leftrightarrow m=-\frac{k}{\alpha}=-\frac{\frac{b}{d}}{-\frac{b}{a}}=\frac{a}{d}\), portanto a equação da reta é \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\).
O centro de simetria do gráfico de f é o ponto de interseção da assímptota vertical, onde o denominador da função é nulo: \(cx+d=0\Leftrightarrow x=-\frac{d}{c}\), com a assímptota que aproxima o gráfico no infinito, que neste caso é uma assímptota horizontal com equação \(y=\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{a}{c}\). Portanto o centro de simetria é \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\).
Podemos então concluir que \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\) pertence á reta de equação \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\) se e só se \(\frac{a}{c}=-\frac{a}{d}\frac{d}{c}+\frac{b}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c}=-\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\Leftrightarrow \frac{2a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow 2ad=bd\).
14 set 2019, 15:39