Determinar os parâmetros da parábola

[Gabriela Amaral]

Fazendo passo a passo, determine os parâmetros a, b e c ∊ R tais que a parábola y = ax² + bx + c tangencie a reta y = x no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto (-1,0).


GABARITO: a = c = 1/4 e b = 1/2

[Estanislau]

Parece simples. Que dúvidas tem?

[Baltuilhe]

Fazendo passo a passo, determine os parâmetros a, b e c ∊ R tais que a parábola y = ax² + bx + c tangencie a reta y = x no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto (-1,0).


GABARITO: a = c = 1/4 e b = 1/2

Boa tarde!

Temos a inclinação da reta tangente:
\(y=x
m=1\)

Como queremos que tangencie no ponto de abscissa igual a 1, a derivada neste ponto valerá 1 também.
\(y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
2a(1)+b=1
2a+b=1\)

Como a reta toca neste ponto também na parábola:
\(y=1\)

Então, o ponto (1,1) faz parte da parábola, também.
\(y=ax^2+bx+c
1=a(1)^2+b(1)+c
a+b+c=1\)

Já temos uma equação.

E a parábola deverá passar por (-1,0). Então:
\(y=ax^2+bx+c
0=a(-1)^2+b(-1)+c
a-b+c=0\)

Já temos a última equação.

Resolvendo:
\(\begin{case}a+b+c=1\\a-b+c=0\\2a+b=1\end{case}\)

Isolando o b da terceira equação:
\(b=1-2a
a+b+c=1
a+(1-2a)+c=1
\fbox{-a+c=0}
a-b+c=0
a-(1-2a)+c=0
\fbox{3a+c=1}
a=c
3a+a=1
4a=1
\fbox{a=\dfrac{1}{4}}
\fbox{c=\dfrac{1}{4}}
b=1-2a
b=1-2\cdot\dfrac{1}{4}
b=1-\dfrac{1}{2}
\fbox{b=\dfrac{1}{2}}\)

Então:
\(y=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\)

Espero ter ajudado!