Função inversa, função injectiva, crescente, monotonia, tangente num ponto, continuidade
21 fev 2017, 19:55
Sejam a e b números reais e f(x)=sem(cos(ax+b)), x E R.
Calcule os valores de a e b que maximizam f(0).
24 fev 2017, 02:30
Trata-se de um exercício estranho uma vez que f(0)=sen(cos(b)) não depende de a, logo a pode ser qualquer valor. Quanto ao valor de b é só observar que cos(b) varia entre -1 e 1 e nesse intervalo a função seno é estritamente crescente. Logo f(0) tem valor máximo quando cos(b)=1, ou seja, \(b=2k\pi\) para \(k\in \mathbb{Z}\).
06 mar 2017, 16:52
Obrigado pela ajuda Rui, realmente é estranho não consegui resposta em lugar nenhum. Me perdoe se estiver falando bobagem, mas eu pensei em resolver assim, o máximo da função acredito que seja a derivada igualada a zero. Como ele pede no ponto f(0) ficaria assim:
f(0) = sen(cos(a.0 + b)
f(0) = sen(cos(b))
f'(0) = -cos(cos(b).sen(b)
-sin(b).cos(cos(b)) = 0
Só que não sei como resolver isso.
07 mar 2017, 10:35
A resolução do Rui já está completa... mas que quiser mesmo usar derivadas, trata-se de encontrar o valor máximo da função \(g(b)= \sin (\cos b)\). Tal como disse,
\(g'(b)= 0 \Leftrightarrow -\sin b \cdot \cos(\cos b) = 0 \Leftrightarrow \sin b = 0 \vee \cos(\cos b)=0\)
No entanto, como \(-1 \leq \cos b \leq 1\), temos que \(\cos (\cos b) \ne 0\) (o cosseno não tem raízes no intervalo [-1,1] ). Assim, as soluções da equação anterior são apenas dadas por
\(\sin b = 0 \Leftrightarrow b = k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
Estes são os pontos onde a derivada se anula... Se calcular a segunda derivada nestes pontos, verá que alguns correspondem a maximizantes e outros a minimizantes. A resposta final é a indicada pelo Rui.
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