provar que é uniformemente contínua | f(x)=x+sen(x)

[silvanuno11]

Bom dia,
Antes de mais desejo a todos um a bom ano de de 2012. Que tudo corra pelo melhor.

Como posso provar que a função f(x) = x + sen(x) é uniformemente contínua em R?


Abraço
NSilva

[Rui Carpentier]

Olá,
A função dada tem derivada limitada em R, logo (usando o teorema de Lagrange) é uma função de Lipschitz e como tal é uniformemente contínua em R.
Bom ano novo,
Rui Carpentier

[silvanuno11]

Boa tarde,

Mas para ter a cotação na pergunta, bastava dar essa resposta?
Como posso desenvolver para ter uma cotação mínima?

Abraço
NSilva

[Rui Carpentier]

Quanto ao que é preciso responder para ter a cotação toda não lhe posso dizer nada. Posso no entanto desenvolver mais a resposta.
Esta resumia-se à sequência de implicações:
Derivada limitada \(\Rightarrow\) função de Lipschitz \(\Rightarrow\) função uniformemente contínua.
Recordando os conceitos:
(1) \(f'\) é limitada em \(\mathbb{R}\) se existe \(L>0\) tal que \(|f'(x)|\leq L\) para todo o \(x\in \mathbb{R}\);
(2) \(f\) é uma função de Lipschitz se existe \(L>0\) tal que \(|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|\) para todo o \(x,y\in \mathbb{R}\);
(3) \(f\) é uma função uniformemente contínua se \(\forall{\epsilon>0}\exists{\delta>0}\forall{x,y\in \mathbb{R}}|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon\).

Hora (1) é verdade pois \(f'(x)=1+\cos x\), logo \(|f'(x)|\leq 2\) para todo o \(x\in \mathbb{R}\).

(1)\(\Rightarrow\)(2) pois pelo teorema de Lagrange \(f(x)-f(y)= f'(z)(x-y)\) com \(z\) entre \(x\) e \(y\). Como \(|f'(x)|\leq L\forall{x\in \mathbb{R}}\), temos \(|f(x)-f(y)|= |f'(z)||x-y|\leq L|x-y|\) para todo o \(x,y\in \mathbb{R}\).

E (2)\(\Rightarrow\)(3) pois basta tomar \(\delta= \epsilon /L\).

[João P. Ferreira]

Muito obrigado caro Rui Carpentier por mais essa sua magna contribuição

Bom ano novo !!!

Saudações pitagóricas