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dados os vetores v1 = (1,1,0) ; v2 = (1,0,1) ; v3 = (0,1,1) determinar um vetor unitario U ortogonal a v1 e tal que u,v2 e v3 sejam coplanares.

Boa noite!

Vetor u (não unitário, ainda):
\(\vec{u}=(a,b,c)\)

Como o vetor u é ortogonal a v1:
\(\vec{v_1}\cdot\vec{u}=0
(1,1,0)\cdot(a,b,c)=0
a+b=0\)


E como é coplanar com v2 e v3 pode ser escrito em função destes:
\(\vec{u}=x\vec{v_2}+y\vec{v_3}
(a,b,c)=(x,0,x)+(0,y,y)
(a,b,c)=(x,y,x+y)
a=x
b=y
c=x+y=a+b=0\)

Então, o vetor que queremos:
\(a+b=0
b=-a
c=a+b=0\)

Então, temos o vetor u:
\(\vec{u}=(a,-a,0)\)

Como precisa ser unitário:
\(\vec{u_0}=\frac{(a,-a,0)}{\sqrt{a^2+a^2}}
\vec{u_0}=\frac{(a,-a,0)}{a\sqrt{2}}
\vec{u_0}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles