retas tangentes ao gráfico da função

[leticia7]

Uma das retas que passam pelo ponto (3,8) e que são tangentes ao gráfico da função
y= x² + 2x - 3
possui equação?

[pg1992]

Retas tangentes ao gráfico têm de tocar o gráfico em um ponto \((x,f(x))\), onde \(y = f(x)\) e terem inclinação \(f'(x)\). Bem, \(f'(x) = 2x+2\), e a reta que passa por (3,8) com inclinação \(f'(x)\) vai ter equação \((y-8)/(x-3) = 2x+2\) (por causa da equação da reta com inclinação m que passa pelo ponto \((x_0,y_0)\) : \((y-y_0)/(x-x_0) = m\)). Agora você tem o sistema de equações:

\(y = x^2 + 2x - 3\)
\(y = 8 + 2(x+1)(x-3) = 2x^2 - 4x + 2\)

Subtraindo a equação de cima da que está abaixo obtém-se x^2 - 6x+5 = 0 e, portanto, x pode assumir os valores 4 ou 2, que correspondem aos pontos (4, 21) e (2, 5) no gráfico. Portanto existem 2 retas tangentes a \(y = x^2 + 2x - 3\) que passam pelo ponto (3,8), uma delas passa pelo ponto (4, 21) no gráfico e a outro pelo ponto (2, 5). Encontrar as equações de cada reta fica como um exercício pra vc

[pg1992]

Retas tangentes ao gráfico têm de tocar o gráfico em um ponto \((x,f(x))\), onde \(y = f(x)\) e terem inclinação \(f'(x)\). Bem, \(f'(x) = 2x+2\), e a reta que passa por (3,8) com inclinação \(f'(x)\) vai ter equação \((y-8)/(x-3) = 2x+2\) (por causa da equação da reta com inclinação m que passa pelo ponto \((x_0,y_0)\) : \((y-y_0)/(x-x_0) = m\)). Agora você tem o sistema de equações:

\(y = x^2 + 2x - 3\)
\(y = 8 + 2(x+1)(x-3) = 2x^2 - 4x + 2\)

Subtraindo a equação de cima da que está abaixo obtém-se x^2 - 6x+5 = 0 e, portanto, x pode assumir os valores 4 ou 2, que correspondem aos pontos (4, 21) e (2, 5) no gráfico. Portanto existem 2 retas tangentes a \(y = x^2 + 2x - 3\) que passam pelo ponto (3,8), uma delas passa pelo ponto (4, 21) no gráfico e a outro pelo ponto (2, 5). Encontrar as equações de cada reta fica como um exercício pra vc

Opa!, vi um erro aqui... foi mal.
Resolvendo para x você vai ter 1 e 5 (ao invés de 2 e 4), que correspondem aos pontos (1, 0) e (5, 32) no gráfico, que é onde as retas tangentes tocam. A reta que passa por (3,8) e (1,0) é \(y = 4x-4\), e a reta que passa por (3,8) e (5, 32) é \(y = 12x - 28\).