Vetores, norma, ângulo entre vetores

[danielaleiteufjf]

Encontre o valor de || 3U − 2V + W || sabendo que U, V e W são vetores no espaço que cumprem as seguintes condições simultaneamente: U e W são ortogonais, V e W são ortogonais, o ângulo entre U e V é π/3 rad, U e V são vetores unitários e ||W ||= 3

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Vamos procurar o valor do quadrado do que se pede... depois encontraremos o solicitado!

Dados:\(\left{\vec{U}\cdot\vec{W}=0\\
\vec{V}\cdot\vec{W}=0\\
\theta = \frac{\pi}{3}\text{ angulo entre os vetores U e V}\\
||\vec{U}||=||\vec{V}||=1\\
||\vec{W}||=3\)

\(||3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}||^2=\left(3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}\right)\cdot\left(3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}\right)\\
3\vec{U}\cdot\left(3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}\right)-2\vec{V}\cdot\left(3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}\right)+\vec{W}\cdot\left(3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}\right)\\
9||\vec{U}||^2-6\vec{U}\cdot\vec{V}-6\vec{V}\cdot\vec{U}+4||\vec{V}||^2+||\vec{W}||^2\\
9-12\vec{U}\cdot\vec{V}+4+(3)^2\\
22-12||U||\;||V||\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\\
22-12\times\frac{1}{2}\\
22-6=16\)

Como calculamos o quadrado do que foi pedido:
\(||3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}||^2=16\\
||3\vec{U}-2\vec{V}+\vec{W}||=4\)

Espero ter ajudado!