Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Mostre que a função \(f(x)=x^3-3x^2+3x\) é injetora.

vamos por partes

sabe o que é uma função injetora?
consegue perceber pelo gráfico que a função é injetora?

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Sim, sei o que é e percebo, o problema é que o professor é bem rigoroso nas demonstrações, até fiz uma mas n sei se está correta.

se vc derivar a função fica com \(f'(x)=3x^2-6x+3\)

basta demonstrar que \(f'(x)\geq 0\)

como a derivada \(f'(x)\) é sempre positiva (ou nula num ponto) demonstra que a função é sempre crescente, logo injetora

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João Pimentel Ferreira
 
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Não posso, o professor ainda não deu derivada, ele n iria aceitar, o método que to utilizando é tipo, na função f(x)=x^3.
então eu faço x1^3=x2^3 e mostro que isso só acontece se x1=x2.

leia isto:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_injectiva

a função é injetora se para todo

\(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\)

\((x_1)^3-3(x_1)^2+3x_1 \neq (x_2)^3-3(x_2)^2+3x_2\)

desenvolva...

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João Pimentel Ferreira
 
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Pois é, mas aí eu vou pela contrapositiva, f(x1)=f(x2) => x1=x2.
A parte teórica ta legal cara, é mais a matemática, n tenho certeza se consegui, to meio inseguro quanto a essa questão, mas valeu pela ajuda.

Boa noite meus caros, peço desculpa por me estar a intrometer na discussão

Uma função é injetora se e só se a objetos diferentes corresponderem imagens diferentes como o João afirmou, ou se preferir a objetos iguais correspondem imagens iguais (eu vou utilizar esta definição por me ser mais familiar).

Então \((x_{1})^{3}-3(x_{1})^{2}+3x_{1}=(x_{2})^{3}-3(x_{2})^{2}+3x_{2}\)

Se simplificarmos a igualdade, cortando os mesmos termos nas duas parcelas obtemos \((x_{1})^{2}=(x_{2})^{2}\) , contudo isto não
implica necessariamente que x1 seja igual a x2 , pois o facto de estarem elevados ao quadrado acarreta a particularidade de o termo negativo se transformar em positivo e de o igualar.
Vou exemplificar com um caso em particular: (-1)²=1², no entanto -1≠1.
Eu diria que a definição de função injetora não se aplica a \(f\left ( x \right )\) e portanto a meu ver esta função não é injetora.

Fiquem à vontade para me corrigirem se assim o entenderem.

Sinta-se sempre bem vindo, TelmaG
Vou expor minha demonstração, mas n tenho certeza se está correto.
Pela contra positiva:
\((x_{1})^{3}-3(x_{1})^{2}+3x_{1}=(x_{2})^{3}-3(x_{2})^{2}+3x_{2}\)
\(x_{1}((x_{1})^{2}-3x_{1}+3)=x_{2}((x_{2})^{2}-3x_{2}+3)\)
\(x_{1}((x_{1})^{2}-3x_{1}+3) - x_{2}((x_{2})^{2}-3x_{2}+3)=0\)

Como \((x^{2}-3x+3)\) não possui raiz. O único modo de satisfazer a equação é se x1=x2.
Eu não tenho certeza sobre esse argumento, por isso pedi ajuda.

Uma pequena sugestão: \(f(x)=x^3-3x^2+3x=(x-1)^3-1\). Posta desta forma não é dificil ver que a função é injetiva.

OBS. \(x_1^3=x_2^3 \Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=0 \Leftrightarrow x_1=x_2\) uma vez que \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0\) sempre que \(x_1, x_2\not=0\) (dem.: \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\geq x_1^2-|x_1||x_2|+x_2^2=|x_1|^2-2|x_1||x_2|+|x_2|^2+|x_1||x_2|=(|x_1|-|x_2|)^2+|x_1||x_2|>0\))