Mostrar que f(x)=x^3-3x^2+3x é injetora.

[TelmaG]

Obrigada pelo esclarecimento. Peço desculpa pelo meu lapso!

[Renato Filho]

Reduza: x^3-3x^2+3x => (x-1)^3+1 ;
Seja (x-1) = y: temos, y^3+1, para y>0 sempre teremos f(y)<f(y+ε) e para y<0 tmb teremos f(x)<f(y+ε), faça:
y^3+1<(y+ε)^3+1 este encremento devera ter apenas um conjunto solução, caso contrário a funcao nao será injetora.

[Renato Filho]

Uma pequena sugestão: \(f(x)=x^3-3x^2+3x=(x-1)^3-1\). Posta desta forma não é dificil ver que a função é injetiva.

OBS. \(x_1^3=x_2^3 \Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=0 \Leftrightarrow x_1-x_2\) uma vez que \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0\) sempre que \(x_1, x_2\not=0\) (dem.: \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\geq x_1^2-|x_1||x_2|+x_2^2=|x_1|^2-2|x_1||x_2|+|x_2|^2+|x_1||x_2|=(|x_1|-|x_2|)^2+|x_1||x_2|>0\))

Rui não seria (x-1)^3+1?

[Rui Carpentier]

Uma pequena sugestão: \(f(x)=x^3-3x^2+3x=(x-1)^3-1\). Posta desta forma não é dificil ver que a função é injetiva.

OBS. \(x_1^3=x_2^3 \Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=0 \Leftrightarrow x_1-x_2\) uma vez que \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0\) sempre que \(x_1, x_2\not=0\) (dem.: \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\geq x_1^2-|x_1||x_2|+x_2^2=|x_1|^2-2|x_1||x_2|+|x_2|^2+|x_1||x_2|=(|x_1|-|x_2|)^2+|x_1||x_2|>0\))

Rui não seria (x-1)^3+1?

Sim seria (obrigado pela correção).