Não pode usar vetor .
Não pode usar Grassman.
Não sei o quer dizer com isso, mas aqui vai uma possível resolução.
Qualquer ponto da reta \(r_1\) é da forma \((z+1,2z-1,z)\) com \(z\in\mathbb{R}\) e qualquer ponto da reta \(r_2\) é da forma \((z+2,z+1,z)\) com \(z\in\mathbb{R}\). Seja \(P_1=(z'+1,2z'-1,z')\) o/um ponto de cruzamento das retas \(r\) e \(r_1\), seja \(P_2=(z^*+2,z^*+1,z^*)\) o/um ponto de cruzamento das retas \(r\) e \(r_2\) e seja \(P_3=(1,2,-3)\). Os pontos \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) são colineares pois pertencem à reta \(r\). Logo \(P_1-P_3=\lambda (P_2-P_3)\) com \(\lambda\) real*. Temos então um sistema de equações:
\(\left\{\begin{array}{l}z'=\lambda (z^*+1)\\ 2z'-3=\lambda (z^*-1)\\z'+3=\lambda (z^*+3) \end{array}\right.\)
Depois de resolvido o sistema (deve dar \(\lambda=3/2\), \(z'=0\) e \(z^*=-1\)) temos calculado \(P_2\) e portatnto temos uma equação paramétrica de \(r\) dada por:
\((x,y,z)=P_3+ t(P_2-P_3)\) ou seja \((x,y,z)=(1,-2t+2,2t-3)\) (se as contas tiverem bem feitas) com \(t\in\mathbb{R}\).
*- Note-se que é fácil verificar que \(P_3\) não pertencem a nenhuma das retas \(r_1\) e \(r_2\) logo \(P_2-P_3\) é não-nulo, assim qualquer ponto da reta r será dado de forma paramétrica por \(P_3+\lambda (P_2-P_3)\).