Calcular unidades de área?

[natanlp]

Olá Pessoal, Gostaria da ajuda de vocês, pois durante todo meu ensino médio nunca ouvi falar de Geometria Analitica, Fiz uma prova recentemente, e caiu a questão abaixo, como faço para resolver a mesma? pois não tenho a menor idéia de como fazer, e gostaria tbm que se pudessem, me endicassem algum material para estudo, Desde já agradeço!!!

Um agricultor recebeu como herança um sítio em formato retangular com
vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a
unidade em cada um dos eixos representa a unidade de comprimento sobre o
terreno, tem-se A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). Quantas unidades de
área possui o sítio que o agricultor herdou?

a) 12
b) 13
c) 14
d) 24

[João P. Ferreira]

Meu caro não é difícil...

Terá de ver quais os vértices do retângulo e lembre-se que a área do retângulo é somente uma aresta vezes a outtra

Convém desenhar o retângulo no espaço cartesiano para entender

Assim é só saber a distância entre dois pontos no espaço cartesiano

A distância entre os pontos \(x(x_1,x_2)\) e \(y(y_1,y_2)\) é

\(D=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)

Assim o comprimento da primeira aresta (distância entre os pontos B e C) é:

\(D_1=\sqrt{(6-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}\)

o comprimento da segunda aresta (distância entre os pontos A e B) é:

\(D_2=\sqrt{(6-4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}\)

A área é então \(D_1\times D_2\)

Volte sempre

Anexos

area.jpg (7.9 KiB) Visualizado 8104 vezes

[natanlp]

Olá João P. Ferreira, obrigado pela atenção!

O Gabarito da prova em questão informa que a resposta é a letra (a) 12...

fecha 2 triangulos imagina os vertices A e B com C e D paralelos
fecha o triangulo ABC e CDA
faz o det dos vertices divide por 2 e soma as areas
4 6 2 4
0 2 4 0 = det(ABC)
2 0 4 2
4 2 0 4 = det(CDA)
|det(abc)|/2 + |det(cda)|/2 = Area total
2 0 4 2
4 2 0 4
2.2 + 0.0 +4.4 -2.0 -4.2 -0.4 = 12

Eu já recebi a seguinte sugestão para a solução do mesmo...
mas quem me informou esta sugestão se limitou a informar que
"aquela matriz ali eu aprendi a fazer com meu professor , nao tenho como provar , mas da certo"

Então se alguem mais, tiver alguma explicação para a sugestão apresentada acima, Ficarei grato!

[natanlp]

Há uma fórmula para calcular a área de uma triângulo por meio das coordenadas:
\(A = \frac12 . \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a &1 \\ x_b & y_b & 1 \end{matrix} \right|\) \(= \frac 12.|D|\)

A área do triângulo ACD é a mesma do triângulo ABC. Vamos achar a do ACD e multiplicá-la por 2:
\(A = \frac12.Det\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1\\
0 & 2 & 1\\
4 & 0 & 1
\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow A = \frac12.12 \Rightarrow A=6\)
\(6.2 = 12 cm^2\)

Foi me apresentado esta solução!!!

[João P. Ferreira]

Sim meu caro, a minha solução está incompleta pois não considerei o facto de a área em questão não ser completamente retângular...

A área em apreço não é totalmente retângular é losangonal..

Assim terá de dividir em dois triângulos como apresentado na solução...

Se dividir o losango através do eixo principal em dois triângulos e aplicar a fórmula para calcular a área de cada triângulo, basta depois multiplicar essa área por dois. É o que está feito aí...

Assim a área de cada triângulo é 6, logo a área do losango (e não retângulo) é 12

[João P. Ferreira]

Meu caro veja isto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Losango

Assim terá apenas de calcular as distâncias entre os pontos C e A ; e B e D, multiplicá-las e dividir por dois

[natanlp]

João P. Ferreira Obrigado pela atenção, agora as dúvidas foram sanadas...

[João P. Ferreira]

De nada, volte sempre...