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Gostaria de saber como demonstrar a seguinte propriedade classíca do produto escalar entre vetores:

Dado os vetores V=(a,b,c,...,d) e U=(x,y,z,...,w) no espaço n-dimensional, temos que v.u.cos(alfa)=ax+by+cz+...+dw

v=módudo de V
u=módulo de U
alfa=menor ângulo entre V e U

Estou interessado na demonstração para vetores com n cordenadas. Grato desde já

A forma mais fácil de proceder é partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz

\(| \vec{u} \cdot \vec{v} | \leq ||\vec{u}|| \,\,||\vec{v}||\)

Assim vemos que

\(\frac{| \vec{u} \cdot \vec{v}| }{||\vec{u}|| \,\,||\vec{v}||} \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \,\,||\vec{v}|} \leq 1\)

Agora, qualquer quantidade compreendida entre -1 e 1 pode ser escrita como o cosseno de um ângulo entre 0 e Pi, pelo que existe \(\alpha \in [0,\pi]\) tal que:

\(cos \alpha = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v}| }{||\vec{u}|| \,\,||\vec{v}|}\)

O ângulo entre vectores é definido precisamente através da relação anterior. Para dimensão 2 e 3 este ângulo corresponde ao angulo físico medido entre os vectores, mas para dimensão superior é apenas uma definição.

Compreendido, muito obrigado.

Também gostaria de saber se alguém tem conhecimento de uma prova por indução finita. Caso seja possível a aplicação dessa técnica neste problema