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Se três vetores são coplanares, então eles deverão ser linearmente dependentes, isso é, K1 * u1 + k2 * u2 + k3 * u3 = 0 (I). Sendo k1, k2, e k3 constantes reais e u1, u2 e u3 vetores em R3. Todavia, li que se três vetores são linearmente dependentes, então a matriz formada por seus coeficientes terá determinante nulo. Mas, sabemos dos sistemas lineares, que se a matriz formada pelos coeficientes de um sistema linear apresentar determinante nulo, então o sistema terá infinitas soluções ou será impossível. Ou seja, se o determinante da matriz dos vetores for zero, pode não existir solução para equação (I) e, neste caso, os vetores não seriam LD. Correto?

O sistema a que chama (I) tem sempre solução. Um sistema homogéneo tem sempre pelo menos a solução nula. A questão é que se o determinante da matriz não fosse nulo, então a solução nula seria a única solução e, nesse caso, os vectores não seriam linearmente independentes ( ne definição de independência linear tem que existir pelo menos um coeficiente não nulo).

Ok, acho que entendi, favor acompanhar meu raciocínio:

"Se o determinante da matriz formado pelos coeficientes dos vetores for diferente de zero, então este sistema admitirá apenas a solução nula. Neste caso, os vetores são L.I.. Por outro lado, se o determinante for igual a zero, então o sistema aceitará infinitas soluções. De fato, sabemos que existem infinitas maneiras de combinar linearmente três vetores."

Esta correto?

sim, é isso.