Considera a reta r: 2x-y=5 e o ponto P0 =(1,1).

[treivam]

Considera a reta r: 2x-y=5 e o ponto P0 =(1,1).
a) calcule a distância de P0 a r
b)Determine a equação algébrica da reta r_l_ que passa por P0 e é ortogonal a r.
c) Determine a equação, na forma x²+y²+ax+by+c=0, da circunferência tangente a reta r e de centro P0.

[petras]

Reta r: 2x - y - 5 = 0 → a = 2, b = -1 e c = -5
Reta s: Perpendicular a r
Po(x_o,y_o) = (1,1)
a) Distância de Po a r =d = \(\frac{|a.x+b.y+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
d = \(\frac{|2.1+(-1).1+(-5)|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\)
d = \(\frac{|-4|}{\sqrt{5}\) = \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

b)coeficiente angular de r = m_r = 2
Retas perpendiculares → Produto dos coeficientes angulares é -1
Chamando de m_s o coeficiente da reta perpendicular teremos m_r . m_s = -1 → 2.m_s = -1 → ms = -1/2
Utilizando o Ponto (1,1) ∊ s teremos y - y_o = a (x- x_o) → y - 1 = -1/2(x-1) → y = -x/2 +3/2

c) Circunferência de centro (A, B) = (1, 1) e Raio R
Distância a reta tangente = R = \(\frac{|a.A+b.B+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
R = \(\frac{|2.1+(-1).1+(-5)|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\)

R = \(\frac{|-4|}{\sqrt{5}\) = \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

Equação Reduzida da Circunferência: \((x-A)^{2}+(y-B)^{2} = R^{2}\)
\((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}\)
Desenvolvendo para termos a equação geral:
\(x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=\frac{16}{5}\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-2y+2-\frac{16}{5}=0\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-2y-1,2=0\)

Anexos

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