Equações e movimentos de partículas

[felipegserrano]

Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações das retas r1 = t(1, 2) e r2 = (1, 0) + t(−1, −1), t ∈ R. Pode haver colisão das partículas em algum instante?

[Sobolev]

Basta ver se têm a mesma posição no mesmo instante de tempo.

\((t, 2t)= (1-t, -t) \Leftrightarrow t = 1-t \wedge 2t = -t \Leftrightarrow t = \frac 12 \wedge t = 0\)

Concluímos pois que as duas particulas nunca ocupam a mesma posição no mesmo instante de tempo, não haverá colisão.

[felipegserrano]

Não entendi, a resolução não aparece aqui pra mim. Pode enviar de novo?

[Sobolev]

A primeira particula descreve uma trajectória tal que a sua posição ao longo do tempo é dada por

\(r_1(t)=t(1 , 2) = (t, 2t)\).

Do mesmo modo, a segunda particula descreve uma trajectória

\(r_2(t) = (1,0) + t(-1-1) = (1-t, -t)\)

Ora, para as duas particulas colidirem deveríamos poder encontrar um instante de tempo tal que \(r_1(t) = r_2(t)\), ora,

\(r_1(t) = r_2(t) \Leftrightarrow (t, 2t) = (1-t, -t) \Leftrightarrow t = 1-t \wedge -t = 2t = -t \Leftrightarrow t= \frac 12 \wedge t = 0\)

Como t não pode ser simultaneamente 0 e 1/2, concluimos que as particulas não colidem.