Fórum de Matemática
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Dados os vetores u=(-4,-m,7) e v=(-2m,m,1),
a) determinar m de modo que u.v assuma o maior valor possivel
b) para esse valor de m determinar o ângulo formado pelos vetores u e v.

Boa noite!

Dados:
\(\vec{u}=(-4,-m,7)
\vec{v}=(-2m,m,1)\)
Produto interno:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\langle\left(-4,-m,7\right),\left(-2m,m,1\right)\rangle=8m-m^2+7\)

Como queremos o máximo:
\(f(m){=}-m^2+8m+7
f'(m){=}-2m+8
-2m+8{=}0
m{=}4\)

Analisando pelo sinal da derivada segunda:
\(f''(m)=-2\text{ concavidade para baixo}\)

Então, ponto de MÁXIMO para m=4.

Os vetores ficam, então:
\(\vec{u}=(-4,-4,7)
\vec{v}=(-8,4,1)\)

Calculando o ângulo entre eles:
\(||\vec{u}||=\sqrt{\langle\vec{u},\vec{u}\rangle}=\sqrt{4^2+4^2+7^2}=\sqrt{16+16+49}=\sqrt{81}=9
||\vec{v}||=\sqrt{\langle\vec{v},\vec{v}\rangle}=\sqrt{8^2+4^2+1^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9\)

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\!||\vec{v}||\cos(\theta)
\langle(-4,-4,7),(-8,4,1)\rangle=9\cdot 9\cos(\theta)
(-4)(-8)+(-4)(4)+7(1)=81\cos(\theta)
32-16+7=81\cos(\theta)
\cos(\theta)=\frac{23}{81}
\theta\approx{73^{\circ}30'14''}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles