Mas um segmento de reta fechado e limitado não é compacto (...)?
É pois, claro. Confesso que quando li a questão de relance fiquei com a impressão que esta se resumia a saber como demonstrar que o círculo (ou circunferência) e a reta real não são homeomorfos.
Já mostrar que a circunferência não é homeomorfo a qualquer subconjunto real é um pouco mais subtil. Suponhamos que existe um subconjunto \(X\) de \(\mathbb{R}\) que é homeomorfo à círcunferência \(C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r\}\) e seja \(\varphi:C\stackrel{\~}{\longrightarrow}X\) um homeomorfismo. Seja \(a=\varphi(-r,0)\) e \(b=\varphi(r,0)\), pelo teorema do valor intermédio a imagem* da meia-circunferência superior \(C_{y\geq 0}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r ; y\geq 0\}\) toma todos o valores entre \(a\) e \(b\) e pela mesma razão tal também acontece com a imagem da meia-circunferência inferior \(C_{y\leq 0}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r ; y\leq 0\}\). Logo \(X\) terá que conter o intervalo \([a,b]\) mas cada ponto de \(]a,b[\) terá uma pré-imagem com pelo menos dois pontos o que contradiz de a injetividade de \(\varphi\).
* Note-se que para \(f_+:[-r,r]\longrightarrow C\), \(f_+(x)= (x,\sqrt{r^2-x^2})\) a aplicação composta \(\varphi\circ f_+\) é uma função contínua de \([-r,r]\) em \(\mathbb{R}\) com \(\varphi\circ f_+(r)=a\) e \(\varphi\circ f_+(-r)=b\). O mesmo raciocínio para \(f_-:[-r,r]\longrightarrow C\), \(f_-(x)= (x,-\sqrt{r^2-x^2})\)