Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Gostaria de saber oq ocorre com a condição proposta no exercicio ?

obs.: nesta questão consideramos apenas o módulo, a direção e o sentido, sem se importar com o angulo \(\theta\) !

utlizando o Produto vetorial, temos:

\(|AC| = |DB|.|DC|.sen \theta
|AC| = b.2a.sen \theta\)

\(|BC| = |AC|.|AB|.sen \theta
|BC| = (b.2a.sen \theta).a.sen \theta
|BC| = b.2a^2.sen \theta\)

se.
\(|BE| = \frac{1}{3}.|BC|\)
então,
\(|CE| = \frac{2}{3}.|BC|
|CE| = \frac{4}{3}.b.a^2.sen \theta\)

\(|CE| = |DE|.|DC|.sen \theta
|DE| = \frac{(\frac{4}{3}.a^2.b.sen \theta)}{2a.sen \theta}
|DE| = \frac{2}{3}.a.b\)
logo,
\(|AC|.|DE| = (b.2a.sen \theta).(\frac{2}{3}.a.b)
|AC|.|DE| = \frac{4}{3}.a^2.b^2
|AC|.|DE| = \frac{2}{3}.(2a^2.b^2)\)

Analisei, também, os módulos através da soma dos vetores e também não consegui o resultado \(AC.DE=\frac{2}{3}(4a^2-b^2)\)
por essa razão, não fiz a ocorrência |b|=2|a|

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa noite!

Resolvi diferente:
\(\vec{AC}\cdot\vec{DE}=\left(\vec{AD}+\vec{DC}\right)\cdot\left(\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BE}\right)
\left(-\vec{b}+2\vec{a}\right)\cdot\left(\vec{b}+\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{BC}\right)
\left(-\vec{b}+2\vec{a}\right)\cdot\left[\vec{b}+\vec{a}+\frac{1}{3}\left(\vec{BA}+\vec{AD}+\vec{DC}\right)\right]
\left(-\vec{b}+2\vec{a}\right)\cdot\left[\vec{b}+\vec{a}+\frac{1}{3}\left(-\vec{a}-\vec{b}+2\vec{a}\right)\right]
\left(-\vec{b}+2\vec{a}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{4}{3}\vec{a}\right)
\frac{2}{3}\left(-\vec{b}+2\vec{a}\right)\cdot\left(\vec{b}+2\vec{a}\right)
\frac{2}{3}\left(4\vec{a}^2-\vec{b}^2\right)\)


Veja que se \(||\vec{b}||=2||\vec{a}||\) o produto \(\vec{AC}\cdot\vec{DE}=0\), fazendo os vetores ortogonais entre si.

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,
tu é bom mesmo !!!
nem pensei em inverter o sentido do vetor \(\underset{DA}{\rightarrow}\).

valeu meu amigo !!!

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