Coordenadas em algebra linear.

[Carlos_2303]

Amigos como respondo a questão abaixo, não sei nem por onde começar:
"Dadas a={(1,1),(1,2)} base do espaço vetorial E e b={(3,5),(1,7)} subespaço de E, determine a matriz de números coordenados do subespaço b em relação a base a"

Desde já agradeço.

[Baltuilhe]

Bom dia!

Temos que encontrar primeiramente o vetor (x,y) na base desejada.
\((x,y)=a(1,1)+b(1,2)\)
Então:

sistema:
\(\begin{cases}
a+b=x
a+2b=y
\end{cases}\)
Resolvendo:
a=2x-y
b=-x+y

Sendo a transformação:
\(T(1,1)=(3,5)
T(1,2)=(1,7)\)

O vetor inicial pode ser escrito assim:
\((x,y)=(2x-y)(1,1)+(-x+y)(1,2)\)

Aplicando a transformação e simplificando:
\(T(x,y)=(2x-y)T(1,1)+(-x+y)T(1,2)
T(x,y)=(2x-y)(3,5)+(-x+y)(1,7)
T(x,y)=(5x-2y,3x+2y)\)

Então, a matriz de transformação será:
\(\begin{bmatrix}
5 & -2\\
3 & 2
\end{bmatrix}\)

E a transformação fica:
\(T\left(\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}
5 & -2\\
3 & 2
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\)

Espero ter ajudado!