Boa noite!
Vamos resolver as duas da mesma forma, assim você sempre acerta (independentemente da base escolhida, ok?).
\(T(x,y)=(2y,3x-y)\)
a) E = { (1,0), (0,1) } T(1,0) = (2.0, 3.1-0) = (0, 3) = 0(1,0)+3(0,1) T(0,1) = (2.1, 3.0-1) = (2,-1) = 2(1,0)+(-1)(0,1)
Perceba que os números em vermelho (0,3) tornam-se o vetor da primeira coluna da matriz abaixo. Os números em azul (2, -1) tornam-se o vetor da segunda coluna da matriz abaixo.
\(T\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\)
b) E = { (1,3), (2,5) } T(1,3) = (2.3, 3.1-3) = (6, 0) = a(1,3)+b(2,5) T(2,5) = (2.5, 3.2-5) = (10,1) = c(1,3)+d(2,5)
Agora temos que encontrar os valores a, b, c, d.
\(\begin{cases} a+2b=6\\ 3a+5b=0 \end{cases}\)
Resolvendo sai a=-30 e b=18
\(\begin{cases} c+2d=10\\ 3c+5d=1 \end{cases}\)
Resolvendo sai c=-48 e d=29
Agora é só repetir: primeira coluna, vermelhos (-30, 18). Segunda coluna, azuis (-48, 29)
\(T\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -30 & -48\\ 18 & 29 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\)
Obs.:
Uma outra forma de se resolver seria utilizando mudança de base. Base E = { (1,0), (0,1) } Base F = { (1,3), (2,5) }
A matriz de mudança de base \(M_{EF}=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), e a matriz de transformação inversa (basta calcular a inversa desta última) é \(M_{FE}=\begin{bmatrix}-5&2\\3&-1\end{bmatrix}\)
Como temos de inserir os dados na nova base (F), transformar para a base (E) e depois calcular a resposta de volta para a (F), podemos fazer o seguinte produto com a matriz encontrada no item (a).
\(M_{FE}\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 3 & -1 \end{bmatrix}M_{EF}=\begin{bmatrix}-5&2\\3&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-30&-48\\18&29\end{bmatrix}\)
Espero ter ajudado!
_________________ Baltuilhe "Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
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