Condição de um subespaço gerado

[Danalbert]

Estava analisando a seguinte questão:

Considere o espaço vetorial \(\mathbb{R}^{3}\)e o conjunto dos vetores M = [(4,5,6),(r,5,1),(4,3,2)]. Determine r de modo que o conjunto gerado pelos vetores de M não seja \(\mathbb{R}^{3}\).

Na resposta (presente na apostila) diz: "...sabemos que M são geradores de \(\mathbb{R}^{3}\) se constituírem uma base de \(\mathbb{R}^{3}\)."

Supondo que M gere \(\mathbb{R}^{3}\), é condição necessária que M constitua uma base de \(\mathbb{R}^{3}\)?
Em outras palavras, somente no caso de M ser uma base de \(\mathbb{R}^{3}\) que ele gera o conjunto \(\mathbb{R}^{3}\)?

[Sobolev]

eh essa a definicao de base de um espaco (ou subespaco): um conjunto de vectores linearmente independentes que gera todo o espaco. Neste caso, tratando-se de um conjunto de tres vectores, se forem linearmente independentes geram R3, sendo por isso uma base desse espaco.

[Danalbert]

Eu ia perguntar ainda, mas acho que sanei minha dúvida analisando o próprio problema.

Se a quantidade mínima de vetores pra representar \(\mathbb{R}^{^{3}}\) é três, então não podem haver dois vetores linearmente dependentes entres os três.

Eu achava que a independência linear não constituía fator necessário para formar um espaço, achava que era apenas um fator que caracterizava a base como um conjunto "mais simples possível" para a formação de um espaço.

[Sobolev]

De facto o número mínimo de elementos de uma base de \(\mathbb{R}^3\) é três... Se tem um conjunto de três vectores linearmente independentes, ao escolher dois deles serão também linearmente independentes. No entanto, esse conjunto de dois vectores não pode ser uma base do espaço porque não gera \(\mathbb{R}^3\). Dois vectores, no máximo, irão gerar um plano.

[Danalbert]

Sem mais dúvidas, só quero observar que muitas vezes esquecemos que há uma interpretação geométrica que pode auxiliar e muito, como foi o caso... e que eu negligenciei né!