endomorfismo é automorfismo

[Tef7d]

Podem me ajudar nesta questão

\(\mathbb{R}^{3}\)

\(\varphi (a,b,c)=(a - \lambda b + c, -2a + \lambda b -3c, 3a -4b+ 2\lambda )c)\)


Para que valores de \(\lambda\) o endomorfismo \(\varphi\) é um automorfismo

[Sobolev]

Não estou certo sobre o que será a última componente do vector imagem... problemas com parêntesis ... vou ignorar o penúltimo.
Para a aplicação ser um automorfismo, sendo linear, é necessário e suficiente que seja sobrejectiva, o que acontecerá sempre que a matriz

\(A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & -\lambda & 1 \\
-2 & \lambda & -3\\
3 & -4 & 2 \lambda
\end{array}\right)\)

tenha característica máxima, o que neste caso é o mesmo que ter determinante não nulo... Agora é fazer as continhas... Obtem uma equação de segundo grau no parametro \(\lambda\).