Encontrando uma base para o espaço vetorial dos números complexos em dimensão 2.

[pmas98]

Como eu posso encontrar uma base pra esse espaço vetorial, quando o corpo dos escalares forem os reais e quando for o dos complexos?

[joaopfg]

Quando o corpo dos escalares for os complexos você pode pegar a base Can1={(1,0),(0,1)} como sendo a base canônica. De fato, se tomarmos
a1*(1,0) + a2*(0,1) = (0,0), a1,a2 complexos, obteremos a1=a2=0, mostrando que Can1 é LI. Além disso, podemos escrever
(c1,c2) = c1*(1,0) + c2*(0,1), c1,c2 complexos, mostrando que C²/C=[(1,0),(0,1)].
Já quando o corpo dos escalares for os reais você deve tomar a base Can2={(1,0),(0,1),(i,0),(0,i)} já que os dois elementos de Can1 já não serão mais suficientes para gerar a parte imaginárias dos complexos. De fato, se tomarmos b1*(1,0) + b2*(0,1) = (0,0), b1,b2 reais, obteremos b1=b2=0, mostrando que Can2 é LI. Além disso, podemos (x1+y1*i,x2+y2*i)=x1*(1,0) + y1*(i,0) + x2*(0,1) + y2*(0,i), com x1,y1,x2,y2 reais, mostrando que
C²/R=[(1,0),(0,1),(0,i),(i,0)].