Matriz de transposição em transformação linear

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Olá!
Como é que eu consigo determinar a matriz que representa a transformação linear que transforma cada matriz na sua transposta supondo

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Bom dia!

O que se deseja é o seguinte:
\(T\left(\left[\begin{array}{cc}
a & b\\
c& d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
a & b\\
c& d\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cc}
a & c\\
b& d\end{array}\right]\)

Utilizando a base canônica temos a seguinte transformação:
\(T\left(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]=1\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]\\
T\left(\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]=0\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]+1\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]\\
T\left(\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]=0\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]+1\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]\\
T\left(\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]=0\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right]+1\cdot\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array}\right]\)

Tomando-se os coeficientes que estão à frente de cada matriz da base canônica, teremos:
\(T=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
0 & 1 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)

Espero ter ajudado!

[GrangerObliviate]

Obrigado!