Multiplicação de matrizes

[Pacola]

Encontre uma matriz não nula A de tamanho 3x3 tal que A³=0, onde A³=AAA

[santhiago]

Podemos reescrever \([A^3]_{ij} (i,j=1,2,3)\) como ,

\(\sum_{k=1}^{^3} \sum_{p=1}^{3} a_{ik}a_{kp} a_{pk}\) .

Em um caso particular em que as entradas da 1-ésima coluna de A não são nulas ,tem-se necessariamente : \(\sum_{p=1}^{3} a_{kp} a_{pk} = 0\) .Desta relação ,podemos tomar \(a_{1k} = -\frac{a_{k2}a_{2k} + a_{k3}a_{3k}}{a_{k1}}\) para \(k\) variando de 1 até 3 .Como neste caso , todas entradas \(a_{k1} \neq 0\) ;basta tomar as demais entradas reais quaisquer para que \(A \neq 0\) e \(A^3 = 0\) .