Fórum de Matemática
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3. Resolva o sistema
 2u + v + x − z = 0
 3u + 2v − x − z = 0
 2u + x − 2z = u
 3x − v − 2z = 0
(1)
pelo método da matriz ampliada. Diga qual é a matriz do sistema, a sua caracteterıstica, a caracterıstica da matriz ampliada e o grau de indeterminacão. Descreva o conjunto de soluções, se existir, na forma mais simples que consiga.

Ainda consigo fazer a matriz do sistema

A = 2 1 1 -1 0
3 2 -1 -1 0
1 0 1 -2 0
0 -1 3 -2 0

O resto não sei!

\(\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 0\\
3 & 2 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\
0 & -1 & 3 & -2 & 0
\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1/2 & -5/2 & 1/2 & 0 \\
0 & -1/2 & 1/2 & -3/2 & 0 \\
0 & -1 & 3 & -2 & 0\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1/2 & -5/2 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1/2 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -3/2 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1/2 & -5/2 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & 0\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1/2 & -5/2 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)

Como a característica da matriz e da matriz aumentada são iguais (3) , o sistema é possível (de resto, um sistema homogéneo é sempre possível...). No entanto, o sistema é indeterminado com 1 grau de liberdade [4 (nº incógnitas) - 3 (característica) = 1 ].

Relativamente à solução geral, começando da terceira para a primeira equação temos:

\(-2x-z = 0 \Leftrightarrow z = -2x
\frac 12 v -\frac 52 x + \frac 12 z = 0 \Leftrightarrow v = 7x
2u +v+x-z = 0 \Leftrightarrow u = -5 x\)


Deste modo vemos que qualquer solução do sistema é da forma

\(\lambda (5 , 7, 1, -2), \qquad \lambda \in \mathbb{R}.\)

Tá dificil... Não percebo patavina de matrizes! E vou ter de aprender!