Coloque todas as dúvidas que tiver sobre multiplicação de matrizes, soma e subtracção, assim como matriz inversa e determinantes
30 jan 2013, 23:35
Boa noite,
Poderiam-me ajudar na seguinte questão ?
Considere a matriz \(A =\begin{bmatrix} 1 & a &1 \\ 0&1 &-1 \\ 1& 1& b \end{bmatrix}\) onde a e b designam números reais.
Sabendo que \(\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{bmatrix}\) é um vector próprio desta matriz determine a e b.
Obrigado.
31 jan 2013, 09:48
Apenas tem que usar a definição de vector próprio. O vector u = (1, -1, 2) será vector próprio de A se e só se existir uma constante k (valor próprio associado a u) tal que A u = k u.
\(A u = k u \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} 3-a\\ 3 \\ 2b \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} k \\ -k \\ 2k \end{array}\right)\)
Pelo que k = -3, a = 6 e b=-3.
01 fev 2013, 15:20
Obrigado pela resposta. Mas não percebi muito bem.
01 fev 2013, 18:10
É só mesmo usar a definição de vector próprio. Em geral, um vector v diz-se um vector proprio de uma matriz A se e só se A v = k v, para alguma constante k. Essa constante é o que chamamos o valor próprio de A associado ao vector próprio v.
Neste caso particular, como dizem que (1,-1,2) é vector próprio de A, tem que ser verificada a relação
\(\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & b \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) = k \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)\)
Fazendo a multiplicação matriz - vector do lado esquerdo da igualdade ficamos com
\(\left(\begin{array}{c}3-a \\ 3 \\ 2b \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} k \\ -k \\ 2k\end{array}\right)\)
Ora, para estes dois vectores serem iguai, as componentes correspondentes devem ser iguais. Olhando para a segunda componente concluímos que k = -3. Sabendo isso, comparando as primeiras componentes obtemos a = 6, e comparando as terceiras componentes obtemos b = -3.
Naturalmente o essencial aqui é conhecer a definição... Vale mesmo a pena ler atentamente a matéria teórica antes de começar a tentar resolver os exercícios. Bom estudo!
01 fev 2013, 20:18
Sim, já consegui perceber! Muito obrigado pela atenção! : )
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