Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite,

Poderiam-me ajudar na seguinte questão ?

Considere a matriz \(A =\begin{bmatrix} 1 & a &1 \\ 0&1 &-1 \\ 1& 1& b \end{bmatrix}\) onde a e b designam números reais.

Sabendo que \(\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{bmatrix}\) é um vector próprio desta matriz determine a e b.

Obrigado.

Apenas tem que usar a definição de vector próprio. O vector u = (1, -1, 2) será vector próprio de A se e só se existir uma constante k (valor próprio associado a u) tal que A u = k u.

\(A u = k u \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} 3-a\\ 3 \\ 2b \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} k \\ -k \\ 2k \end{array}\right)\)

Pelo que k = -3, a = 6 e b=-3.

Obrigado pela resposta. Mas não percebi muito bem.

É só mesmo usar a definição de vector próprio. Em geral, um vector v diz-se um vector proprio de uma matriz A se e só se A v = k v, para alguma constante k. Essa constante é o que chamamos o valor próprio de A associado ao vector próprio v.

Neste caso particular, como dizem que (1,-1,2) é vector próprio de A, tem que ser verificada a relação

\(\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & b \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) = k \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)\)

Fazendo a multiplicação matriz - vector do lado esquerdo da igualdade ficamos com

\(\left(\begin{array}{c}3-a \\ 3 \\ 2b \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} k \\ -k \\ 2k\end{array}\right)\)

Ora, para estes dois vectores serem iguai, as componentes correspondentes devem ser iguais. Olhando para a segunda componente concluímos que k = -3. Sabendo isso, comparando as primeiras componentes obtemos a = 6, e comparando as terceiras componentes obtemos b = -3.

Naturalmente o essencial aqui é conhecer a definição... Vale mesmo a pena ler atentamente a matéria teórica antes de começar a tentar resolver os exercícios. Bom estudo!

Sim, já consegui perceber! Muito obrigado pela atenção! : )