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FUVEST SEGUNDA FASE equações com matrizes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=12477 |
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Autor: | Sarah [ 24 mar 2017, 00:14 ] |
Título da Pergunta: | FUVEST SEGUNDA FASE equações com matrizes |
Diz se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3x3 tem posto 1. \(\begin{pmatrix} 2 & \ \frac{1}{2} & 3\\ \ 3a-b+2c & \ 1 & \ 6 \\ b+c-3a & \ \frac{1}{2} & c-2a+b \end{pmatrix}\) |
Autor: | jorgeluis [ 25 mar 2017, 16:45 ] |
Título da Pergunta: | Re: FUVEST SEGUNDA FASE equações com matrizes [resolvida] |
\(\begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} & 3\\ (3a-b+2c) & 1 & 6\\ (b+c-3a) & \frac{1}{2} & (c-2a+b) \end{bmatrix}\) como, a matriz tem Posto 1 (uma linha não nula), então, podemos dizer que, existem duas linhas/colunas que são combinações lineares de uma terceira. Com isso, fazemos: \(L2 - L3 = L1\) Assim, temos: \((3a-b+2c) - (b+c-3a)=2 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} 6-(c-2a+b)=3\) logo, \(\left.\begin{matrix} 6a & -2b & +c & =2\\ 2a & -b & -c & =-3 \end{matrix}\right\}\) e \(L1 \times L2 = L3\) \(2(3a-b+2c)=(b+c-3a) \frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2} 3 \times 6 = (c-2a+b)\) logo, \(\left.\begin{matrix} 9a & -3b & +3c & =0\\ -2a & +b & +c & =18 \end{matrix}\right\}\) multiplicando a 2a linha por -3, temos: \(\left.\begin{matrix} 9a & -3b & +3c & =0\\ 6a & -3b & -3c & =-54 \end{matrix}\right\}\) de \(L2 - L3 = L1\) tiramos \(8a-3b=-1\) de \(L1 \times L2 = L3\) tiramos \(15a-6b=-54\) assim, ficamos \(\left.\begin{matrix} 8a & -3b & =-1\\ 15a & -6b & =-54 \end{matrix}\right\}\) multiplicando a 1a linha por -2 temos \(\left.\begin{matrix} -16a & +6b & =2\\ 15a & -6b & =-54 \end{matrix}\right\}\) \(a=52 b=139 c=17\) |
Autor: | acacio [ 26 mar 2017, 03:01 ] |
Título da Pergunta: | Re: FUVEST SEGUNDA FASE equações com matrizes |
Dizer que uma matriz tem posto 1 é dizer que ela contém no máximo 1 linha ou uma coluna L.I, não nula. portanto existem x, y pertencentes aos reais tais que L1=xL2=yL3, onde Li é a i-esima linha. Nesse caso x=1/2 e y=1, portanto teremos o sistema: b+c-3a=2 (equ 1) c-2a+b=3 (equ 2) 3a-b+2c=4 (equ 3). Somando (equ 1)+(equ 3) implica que c+2c=2+4 o que implica que c=2. Fazendo (equ 2)-(equ 1) implica que -2a+3a=3-2 o que implica que a=1 Substituindo a=1 e c=2 em qualquer uma das equações temos que b=3. |
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