FUVEST SEGUNDA FASE equações com matrizes

[Sarah]

Diz se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3x3 tem posto 1.

\(\begin{pmatrix} 2 & \ \frac{1}{2} & 3\\ \ 3a-b+2c & \ 1 & \ 6 \\ b+c-3a & \ \frac{1}{2} & c-2a+b \end{pmatrix}\)

[jorgeluis]

\(\begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} & 3\\ (3a-b+2c) & 1 & 6\\ (b+c-3a) & \frac{1}{2} & (c-2a+b) \end{bmatrix}\)

como, a matriz tem Posto 1 (uma linha não nula),
então,
podemos dizer que, existem duas linhas/colunas que são combinações lineares de uma terceira.
Com isso, fazemos:
\(L2 - L3 = L1\)
Assim, temos:
\((3a-b+2c) - (b+c-3a)=2
1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
6-(c-2a+b)=3\)
logo,
\(\left.\begin{matrix} 6a & -2b & +c & =2\\ 2a & -b & -c & =-3 \end{matrix}\right\}\)
e
\(L1 \times L2 = L3\)
\(2(3a-b+2c)=(b+c-3a)
\frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2}
3 \times 6 = (c-2a+b)\)
logo,
\(\left.\begin{matrix} 9a & -3b & +3c & =0\\ -2a & +b & +c & =18 \end{matrix}\right\}\)
multiplicando a 2a linha por -3, temos:
\(\left.\begin{matrix} 9a & -3b & +3c & =0\\ 6a & -3b & -3c & =-54 \end{matrix}\right\}\)
de
\(L2 - L3 = L1\)
tiramos
\(8a-3b=-1\)
de
\(L1 \times L2 = L3\)
tiramos
\(15a-6b=-54\)
assim, ficamos
\(\left.\begin{matrix} 8a & -3b & =-1\\ 15a & -6b & =-54 \end{matrix}\right\}\)
multiplicando a 1a linha por -2 temos
\(\left.\begin{matrix} -16a & +6b & =2\\ 15a & -6b & =-54 \end{matrix}\right\}\)

\(a=52
b=139
c=17\)

[acacio]

Dizer que uma matriz tem posto 1 é dizer que ela contém no máximo 1 linha ou uma coluna L.I, não nula.
portanto existem x, y pertencentes aos reais tais que L1=xL2=yL3, onde Li é a i-esima linha.
Nesse caso x=1/2 e y=1, portanto teremos o sistema:

b+c-3a=2 (equ 1)
c-2a+b=3 (equ 2)
3a-b+2c=4 (equ 3).

Somando (equ 1)+(equ 3) implica que c+2c=2+4 o que implica que c=2.
Fazendo (equ 2)-(equ 1) implica que -2a+3a=3-2 o que implica que a=1
Substituindo a=1 e c=2 em qualquer uma das equações temos que b=3.