Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Considerando as operações ∆ e * em Q definidas por:
x∆y = x + y - 3 e x * y = x + y - xy/3. Mostre que (Q,∆,*) é um anel comutativo.

Tem que meter a mão na massa (mais suor que inspiração), verificar os seguintes axiomas/identidades:
1) (∆ é comutativa): \(x\Delta y=y\Delta x \Leftrightarrow x+y-3=y+x-3\).
2) (* é comutativa): \(x * y=y * x \Leftrightarrow x+y-xy/3 = y+x-yx/3\).
3) (∆ é associativa): \((x\Delta y)\Delta z=x\Delta (y\Delta z) \Leftrightarrow (x+y-3)+z-3=x+(y+z-3)-3\).
4) (* é associativa): \((x*y)*z=x*(y*z) \Leftrightarrow (x+y-xy/3)+z-(x+y-xy/3)z/3 = x+(y+z-yz/3)-x(y+z-yz/3)/3\).
5) (* é distribuitiva em ∆): \(x*(y\Delta z)=(x*y)\Delta (x*z) \Leftrightarrow x+(y+z-3)-x(y+z-3)/3= (x+y-xy/3)+(x+z-xz/3)-3\).
6) (existência de elemento neutro para ∆): existe \(\zeta\) que satisfaz a equação \(x\Delta \zeta =x \Leftrightarrow x+\zeta -3 =x\) para todo o x.
7) (existência de simétricos para ∆): para todo o a há solução x da equação \(a\Delta x=\zeta \Leftrightarrow a+x-3=\zeta\).
8) (existência de elemento neutro para *): existe \(\eta\) que satisfaz a equação \(x* \eta =x \Leftrightarrow x+\eta -x\eta /3 =x\) para todo o \(x\not=\zeta\).
A partir daqui o trabalho é todo seu.