Determinar se W é um subespaço, sua base e dimensão.

[GustavoFerreira]

Seja \(\textit{B}\in \textit{M(n,n)}\) uma matriz fixada e considere \(\textit{W}=\left \{ \textit{A}\in \textit{M(n,n)}/ \textit{A}^T+\textit{AB}=0 \right \}\).

a)Mostre que \(\textit{W}\) é subespaço de \(\textit{M(n,n)}\).

b)Considerando \(\textit{n}\)=2 e \(\textit{B}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 0 \end{bmatrix}\), determine a base e dimensão de \(\textit{W}\).

[Sobolev]

Para mostrar que é um subespaço apenas tem que verificar que é fechado para a soma de matrizes e para a multiplicação por escalares.

1. Sejam \(A_1, A_2 \in W\), então

\((A_1+A_2)^T + (A_1+A_2)B = A_1^T+A_2^T + A_1B + A_2B = (A_1^T+A_1B)+(A_2^T + A_2B) = 0 + 0 {=} 0\)

2. Seja \(A \in W\) e \(a\in \mathbb{R}\). Então,

\((aA)^T + (aA)B = a(A^T + AB) = a \times 0 {=} 0\)