Considere a matriz A, quadrada com (n+1) linhas e colunas:
1 X0 X0^2 X0^3 ........ X0^n
1 X1 X1^2 X1^3 ........ X1^n
....................................................
1 Xn Xn^2 Xn^3 ........ Xn^n
e a matriz Ar, quadrada com n linhas e colunas, dada por:
X1-X0 (X1-X0)^2 (X1-X0)^3 ........ (X1-X0)^n
X2-X0 (X2-X0)^2 (X2-X0)^3 ........ (X2^X0)^n
....................................................
Xn-X0 (Xn-X0)^2 (Xn-X0)^3 ........ (Xn-X0)^n
Então o determinante de A é igual ao determinante de Ar. Sei que a relação é verdadeira (uso software Maple), mas não consigo uma demonstração genérica (para n=1 ou n=2 é fácil, mas depois complica)
Note que Ar é uma redução de A. Também poderíamos obter uma redução fazendo:
2a linha = 2a linha - 1a linha
3a linha = 3a linha - 1a linha
......................................
enésima linha = enésima linha - 1a linha.
Neste caso, o primeiro elemento das linhas 2 a n+1 ficam nulos, sem alterar o determinante, e o primeiro elemento da 1a linha permanece unitário. Usando a expansão por cofatores, concluímos que o determinante de A é dado pelas linhas e colunas 2 a n+1 da matriz resultante. O determinante desta outra matriz reduzida, com n linhas e colunas, também é igual ao determinante de A. Mas a matriz reduzida assim obtida é bem diferente da redução que coloquei no início.
Estou há duas semanas tentando provar a igualdade e desisti. Essa propriedade é muito interessante, e poder usa-la me ajudaria muito. Cetamente não sou o primeiro a se deparar com esse problema. Agradeço qualquer ajuda.
Estou anexando uma imagem .png que mostra melhor a igualdade que gostaria de demonstrar.
- Anexos
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- seguem as matrizes no formato .png