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MensagemEnviado: 26 jul 2016, 02:09 
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Considere a matriz A, quadrada com (n+1) linhas e colunas:

1 X0 X0^2 X0^3 ........ X0^n
1 X1 X1^2 X1^3 ........ X1^n
....................................................
1 Xn Xn^2 Xn^3 ........ Xn^n

e a matriz Ar, quadrada com n linhas e colunas, dada por:

X1-X0 (X1-X0)^2 (X1-X0)^3 ........ (X1-X0)^n
X2-X0 (X2-X0)^2 (X2-X0)^3 ........ (X2^X0)^n
....................................................
Xn-X0 (Xn-X0)^2 (Xn-X0)^3 ........ (Xn-X0)^n

Então o determinante de A é igual ao determinante de Ar. Sei que a relação é verdadeira (uso software Maple), mas não consigo uma demonstração genérica (para n=1 ou n=2 é fácil, mas depois complica)

Note que Ar é uma redução de A. Também poderíamos obter uma redução fazendo:
2a linha = 2a linha - 1a linha
3a linha = 3a linha - 1a linha
......................................
enésima linha = enésima linha - 1a linha.

Neste caso, o primeiro elemento das linhas 2 a n+1 ficam nulos, sem alterar o determinante, e o primeiro elemento da 1a linha permanece unitário. Usando a expansão por cofatores, concluímos que o determinante de A é dado pelas linhas e colunas 2 a n+1 da matriz resultante. O determinante desta outra matriz reduzida, com n linhas e colunas, também é igual ao determinante de A. Mas a matriz reduzida assim obtida é bem diferente da redução que coloquei no início.

Estou há duas semanas tentando provar a igualdade e desisti. Essa propriedade é muito interessante, e poder usa-la me ajudaria muito. Cetamente não sou o primeiro a se deparar com esse problema. Agradeço qualquer ajuda.

Estou anexando uma imagem .png que mostra melhor a igualdade que gostaria de demonstrar.


Anexos:
Comentário do Ficheiro: seguem as matrizes no formato .png
figura de matrizes.png
figura de matrizes.png [ 18.34 KiB | Visualizado 2230 vezes ]
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MensagemEnviado: 26 jul 2016, 13:17 
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Rubens,
a propriedade que procura trata-se de uma regra conhecida como REGRA DE CHIÓ.

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 05:45 
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Eu sou novo aqui no fórum, e não sei se estou adotando os procedimentos corretos. Gostaria de agradecer a atenção e a resposta enviada, não sei por quem. Estudei a regra de Chio. A maioria das apresentações exigem que o elemento A1,1 seja unitário, mas há apresentações que exigem apenas que o elementos A1,1 não seja nulo. As duas versões me levaram à mesma redução obtida por expansão por cofatores. Dada a característica da matriz, a redução por cofatores é bem simples. Podemos iniciar fazendo:

2a linha = 2a linha - 1a linha
3a linha = a li3nha - 1a linha
.......................................
......................................
linha (n+1) = linha (n+1) - 1a linha

Isso não altera o determinante, e resulta numa matriz em que o 1o elemento das linha 2 a (n+1) são nulos, e o primeiro elemento da 1a coluna é unitário. Portanto o determinante é igual ao determinante da matriz obtida eliminando-se a 1a linha e a 1a coluna dessa matriz resultante. Na figura em anexo mostro a diferença da redução através de expansão por cofatores (ArEPC), e redução que eu verifiquei (Ar). Olhando para Ar e ArEPC, eu tenderia a dizer que os determinantes são diferentes, mas não são. Vou anexar um exemplo numérico, como exemplo. Esta propriedade está me intrigando. Demonstrar que é verdadeira tem sido tão desafiador como encontrar um caso em que seja falsa.

Será que usei a regra de Chio de forma equivocada?


Anexos:
exemplo.png
exemplo.png [ 23.9 KiB | Visualizado 2204 vezes ]
figura 2 forum.png
figura 2 forum.png [ 29.58 KiB | Visualizado 2204 vezes ]
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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 05:51 
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Um detalhe que esqueci de mencionar. A regra de Chio, assim como a expansão por polinômios, valem para qualquer matriz. A redução que eu apresentei, vale para um classe muito especial de matriz, em que o elementos Mi,1 são unitários, e os demais elementos são potencia de x na forma Mi,j=x^(j-1), com i=1,2,...(n+1) e j=2....(n+1), conforme indico na 1a figura.


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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 06:15 
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jorgeluis Escreveu:
Rubens,
a propriedade que procura trata-se de uma regra conhecida como REGRA DE CHIÓ.

Agradeço a reposta. Mas não adiantou. No fórum eu exponho no que resultou a regra de Chió.


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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 08:31 
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A matriz "A" é conhecida como matriz de VanderMonde, e é a matriz do sistema linear que obtemos ao determinar o polinómio interpolador de um conjunto de dados, em que as abcissas são justamente os pontos \(x_0, \cdots x_n\). talvez ao explorar esta relaão com os polinómios consiga uma prova do resultado.


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 01:16 
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Sobolev Escreveu:
A matriz "A" é conhecida como matriz de VanderMonde, e é a matriz do sistema linear que obtemos ao determinar o polinómio interpolador de um conjunto de dados, em que as abcissas são justamente os pontos \(x_0, \cdots x_n\). talvez ao explorar esta relaão com os polinómios consiga uma prova do resultado.


Muito obrigado. É isso mesmo. Na maioria das apresentações a matriz A está transposta, o que dá no mesmo. Com relação aos polinômios, já procurei uma solução mais filosófica para o problema, visto que a demonstração algébrica é dura, mas não consegui demonstrar a relação para qualquer n por nenhuma das vias. Fica como desafio pessoal para o futuro. De pronto, pra mim é suficiente saber e poder afirmar que det(A) é diferente de 0, desde que x0 a xn sejam diferentes entre si, e que isso já foi demonstrado. Andei olhando tal demonstração na internet, e ela é difícil de ser interpretada por um engenheiro. A matemática é fantástica, e essa igualdade me fascinou, visto que (xi^n -x0^n) é bem diferente de (xi-x0)^n. Seria ótimo ter uma referência bibliográfica da demonstração dessa propriedade.

Fantástico este fórum. Mencionarei sempre que puder. É ótimo contar com o apoio dos matemáticos.

muito obrigado.


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