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provar uma propiredade de determinantes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=11560 |
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Autor: | jorgeluis [ 26 jul 2016, 13:17 ] |
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes |
Rubens, a propriedade que procura trata-se de uma regra conhecida como REGRA DE CHIÓ. |
Autor: | RUBENS SYDENSTRICKER [ 27 jul 2016, 05:45 ] | |||
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes | |||
Eu sou novo aqui no fórum, e não sei se estou adotando os procedimentos corretos. Gostaria de agradecer a atenção e a resposta enviada, não sei por quem. Estudei a regra de Chio. A maioria das apresentações exigem que o elemento A1,1 seja unitário, mas há apresentações que exigem apenas que o elementos A1,1 não seja nulo. As duas versões me levaram à mesma redução obtida por expansão por cofatores. Dada a característica da matriz, a redução por cofatores é bem simples. Podemos iniciar fazendo: 2a linha = 2a linha - 1a linha 3a linha = a li3nha - 1a linha ....................................... ...................................... linha (n+1) = linha (n+1) - 1a linha Isso não altera o determinante, e resulta numa matriz em que o 1o elemento das linha 2 a (n+1) são nulos, e o primeiro elemento da 1a coluna é unitário. Portanto o determinante é igual ao determinante da matriz obtida eliminando-se a 1a linha e a 1a coluna dessa matriz resultante. Na figura em anexo mostro a diferença da redução através de expansão por cofatores (ArEPC), e redução que eu verifiquei (Ar). Olhando para Ar e ArEPC, eu tenderia a dizer que os determinantes são diferentes, mas não são. Vou anexar um exemplo numérico, como exemplo. Esta propriedade está me intrigando. Demonstrar que é verdadeira tem sido tão desafiador como encontrar um caso em que seja falsa. Será que usei a regra de Chio de forma equivocada?
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Autor: | RUBENS SYDENSTRICKER [ 27 jul 2016, 05:51 ] |
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes |
Um detalhe que esqueci de mencionar. A regra de Chio, assim como a expansão por polinômios, valem para qualquer matriz. A redução que eu apresentei, vale para um classe muito especial de matriz, em que o elementos Mi,1 são unitários, e os demais elementos são potencia de x na forma Mi,j=x^(j-1), com i=1,2,...(n+1) e j=2....(n+1), conforme indico na 1a figura. |
Autor: | RUBENS SYDENSTRICKER [ 27 jul 2016, 06:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes |
jorgeluis Escreveu: Rubens, a propriedade que procura trata-se de uma regra conhecida como REGRA DE CHIÓ. Agradeço a reposta. Mas não adiantou. No fórum eu exponho no que resultou a regra de Chió. |
Autor: | Sobolev [ 27 jul 2016, 08:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes |
A matriz "A" é conhecida como matriz de VanderMonde, e é a matriz do sistema linear que obtemos ao determinar o polinómio interpolador de um conjunto de dados, em que as abcissas são justamente os pontos \(x_0, \cdots x_n\). talvez ao explorar esta relaão com os polinómios consiga uma prova do resultado. |
Autor: | RUBENS SYDENSTRICKER [ 28 jul 2016, 01:16 ] |
Título da Pergunta: | Re: provar uma propiredade de determinantes |
Sobolev Escreveu: A matriz "A" é conhecida como matriz de VanderMonde, e é a matriz do sistema linear que obtemos ao determinar o polinómio interpolador de um conjunto de dados, em que as abcissas são justamente os pontos \(x_0, \cdots x_n\). talvez ao explorar esta relaão com os polinómios consiga uma prova do resultado. Muito obrigado. É isso mesmo. Na maioria das apresentações a matriz A está transposta, o que dá no mesmo. Com relação aos polinômios, já procurei uma solução mais filosófica para o problema, visto que a demonstração algébrica é dura, mas não consegui demonstrar a relação para qualquer n por nenhuma das vias. Fica como desafio pessoal para o futuro. De pronto, pra mim é suficiente saber e poder afirmar que det(A) é diferente de 0, desde que x0 a xn sejam diferentes entre si, e que isso já foi demonstrado. Andei olhando tal demonstração na internet, e ela é difícil de ser interpretada por um engenheiro. A matemática é fantástica, e essa igualdade me fascinou, visto que (xi^n -x0^n) é bem diferente de (xi-x0)^n. Seria ótimo ter uma referência bibliográfica da demonstração dessa propriedade. Fantástico este fórum. Mencionarei sempre que puder. É ótimo contar com o apoio dos matemáticos. muito obrigado. |
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