Expressão geral de uma matriz

[Gogo]

Para cada k inteiro, seja


A_k=\(\begin{bmatrix} 1-k & -k & \\ k & 1+k& \\ \end{bmatrix}\)


(a) Mostre que A_kA_p = A_k+p.
(b) Determine a expressão geral de Aⁿ_k, com n inteiro.

Gabarito

b) Aⁿ_k=\(\begin{bmatrix} 1-nk & -nk & \\ nk & 1+nk & \\ \end{bmatrix}\)

[Sobolev]

\(A_k A_p = \left[\begin{array}{cc} 1-k &-k\\ k & 1+k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1-p & -p \\ p & 1+p \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1-k-p & -k -p \\ k+p & 1+k+p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1-(k+p) & -(k +p) \\ (k+p) & 1+(k+p)\end{array}\right] = A_{k+p}\)

Aplicando este resultado ao produto \(A_k^n = A_k \times \cdots \times A_k\), pode ver que \(A_k^n = A_{nk}\), obtendo o resultado que refere.