Subsequência limitada e intervalos encaixantes

[alfcorreia]

Pessoal, alguém poderia me ajudar na resolução desse exorcício?

Seja \(\left \{f_n \right \}\) uma sequência tal que \(f_n\in [0,1]\)\(\forall n \in \mathbb{N}\). Mostre que, existe uma subsequência \(\left \{ f_n_k \right \}\) convergente.
Dica: um dos intervalos (pelo menos um!) \(\left \lfloor 0,1/2 \right \rfloor\) e \(\left [ 1/2,1 \right ]\) contém infinitude de \(\left \{f_n \right \}\) . Seja esse intervalo \(\left [ 0,1/2 \right ]\). Escolha \(\left \{ f_n_1 \right \}\) tal que \(f_n_1 \in [0,1/2]\). Repita com \([0,1/2]\) e escolha \(f_n_2\), onde \(n_2>n_1\)
e assim por diante. Se constrói uma subsequência \(f_n_k\) uma sequência de intervalos fechados encaixantes, aplique o Teorema dos Intervalos Encaixantes.

[Sobolev]

Por construção, os intervalos da sucessão indicada estão encaixados e a sua amplitude converge para zero (em cada iteração a amplitude inicial,1, é dividida por 2). Assim, o teorema dos intervalos encaixados diz-nos que a intersecção de todos esses intervalos se reduz a um ponto \(x \in [0,1]\), que será o limite da subsucessão \(f_{n_k}\).