Estudar uma serie de potências quanto à convergência

[ptf]

Estude as seguintes séries quanto à convergência:
\(\sum 2^{-n}x^{n}\)
R: Absolutamente convergente em x\(\epsilon [-2,2]\), divergente caso contrário.
Não percebo porque é [-2,2] em vez de ]-2-2[.

[Walter R]

O raio de convergência da série é \(|r|=\frac{1}{\lim \sup \sqrt[n]{2^{-n}}}=2\)
Logo a série converge para \(-2<r<2\) ou \(r \in (-2,2)\). Mas esta fórmula não garante a convergência nos extremos do intervalo. Por isso temos que avaliar pontualmente. Para \(x=2\), temos que \(\sum 2^{-n}(+2^n)=\sum +2^0= +1\) (converge).
E para \(x=-2\), \(\sum 2^{-n}(-2^n)=\sum -2^0=-1\) (converge).
Logo, a série converge para \(x \in [-2,2]\).

[ptf]

Mas \(\sum 2^{-n}(-2^n)=\sum \frac{(-2)^n}{2^n}=\sum (\frac{-2}{2})^{n}=\sum (-1)^n\). E \(\sum (-1)^n\) é divergente

[Walter R]

Sim, tens razão.Para x=-2, diverge.

[ptf]

Para x=2 também. Então é convergente em ]-2,2[
\(\sum 2^{-n}(2^n)=\sum \frac{(2)^n}{2^n}=\sum (\frac{2}{2})^{n}=\sum (1)^n\).

[Fraol]

Oi, é o caso da resposta

R: Absolutamente convergente em x, divergente caso contrário.

estar incorreta.