Séries alternadas, de Dirichlet, de Mengoli, convergência de uma série, série geométrica e linear, limite de sucessões/sequências, convergência e monotonia assim como máximos e mínimos, supremos ou ínfimos, majorantes e minorantes
07 dez 2014, 19:00
Resolva:
\(\sum_{k=3}^{\infty}= \frac{1}{k^2-k}\)
Resolução: \(\sum_{k=3}^{\infty}=(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=\lim_{n \mapsto +\infty }(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}\)
Não percebo como chegaram ao 2º passo (o limite)
08 dez 2014, 02:33
Olá :D
Foi aplicado frações parciais em \(\frac{1}{k^2-k}\) obtendo \(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) .Logo:
\(\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k^2-k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)
Como \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\).
Veja que :
\(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)
Veja que os termos vão se cancelando (Pesquise sobre série telescópica) ficando somente :
\(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\)
logo :
\(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} = \lim_{n \to +\infty} \; \frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\fbox{\fbox{\fbox{\frac{1}{2}}}}\)
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