Séries Infinitas [Critério de Dirichlet]

[Man Utd]

Prove que a série \(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{senk}{k}\) é convergente.




O objetivo é usar o Critério de Dirichlet.Tenho uma resolução do Livro Guidorizzi-Um curso de cálculo volume 4 página 93 .

Solução :


\(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right|=\left| \frac{\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\)



Em particular : \(\left|sen 1+sen 2+ \cdots + sen(k) \right|\leq \frac{1}{sen\left( \frac{1}{2} \right)}\)--------Só não entendi esta parte, mas especificamente não entendi como ele majorou a soma parcial.




As sequências \(a_{k}=\frac{1}{k}\) e \(b_{k}=senk\) satisfazem, então , as condições do critério de Dirichlet.Logo, a série \(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{senk}{k}\) é convergente.

Grato a quem puder ajudar.
grande abraço.

[Fraol]

Boa tarde Man Utd,

Olhando o numerador da expressão solução, vejo que seu maior valor é 2, daí segue a majoração, concorda?

[Man Utd]

Boa tarde Man Utd,

Olhando o numerador da expressão solução, vejo que seu maior valor é 2, daí segue a majoração, concorda?

Olá :D

obrigado por responder,acho que o numerador \(\left| cos( \frac{a}{2})-cos( na+\frac{a}{2}) \right|\) não chega a atingir o valor 2, já que a=1.



cumprimentos

[Fraol]

Sim, nesse caso particular algo em torno de 1,95. Assim, como \(\frac{1}{sen(1/2)} > 2\) continua valendo a majoração que, não tenho esse livro, deve servir a algum propósito na sequência da prova. Se encontrar outra argumentação manda pra cá!

Abç.

[Man Utd]

Aqui tem esse livro para baixar , se te interessar.

Sim, nesse caso particular algo em torno de 1,95. Assim, como \(\frac{1}{sen(1/2)} > 2\) continua valendo a majoração que, não tenho esse livro, deve servir a algum propósito na sequência da prova. Se encontrar outra argumentação manda pra cá!

Abç.

Caro fraol , msm assim o exerício deve fazer alguma outra manipulação pois o sinal é igual ou maior, quer dizer que pode assumir o valor 2, mas o numerador daquela expressão nunca chegará a isso.




Cumprimentos e abraços :D :D :D

[Man Utd]

Olá :D


Acho que seria assim:


\(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right|=\left| \frac{\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\)


no caso "a" seria uma variável que poderia representar qualquer valor, e não somente 1. Então pela desigualdade triangular : \(\left|\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)\right| \leq \left|\cos \left(\frac{a}{2} \right) \right|+\left|\cos\left( na+\frac{a}{2} \right)\right|\) , então essa ultima expressão seria limitada entre 0 e 2, daí ficava:


\(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right| \leq \left| \frac{2}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\)


\(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right| \leq \left| \frac{1}{sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\)

agora fazendo a=1:

\(\left|sen 1+sen 2+ \cdots + sen(n) \right|\leq \frac{1}{sen\left( \frac{1}{2} \right)}\)


Será que está correto?




Abraço :D