Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Este exercício nem sei por onde começar...

Sem utilizar o método de indução matemática, mostre que:


\(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=n(_{n}^{2n-1}\textrm{})\) , n ≥ 1

Podem dar-me um empurrãozinho?

P.S. - Penso que seja suposto usar as igualdade binomiais
mas não estou a ver como...

Após uma leitura mais aprofundada sobre esta matéria estou
a pensar usar a Lei da Simetria e a Convolução de Vandermonde...

\(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{i}^{n}\textrm{})\)

Aplicando a lei da simetria: \((_{k}^{n}\textrm{})=(_{n-k}^{n}\textrm{})\)
Nota:(tenho dúvidas se se pode aplicar por causa do "i" que ficou de fora...)

\(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{n-i}^{n}\textrm{})\)

Aplicando a Convolução de Vandermonde \(\sum_{{k}={0}}^{n}(_{k}^{r}\textrm{})(_{n-k}^{s}\textrm{})=(_{n}^{r+s}\textrm{})\)

Ficando com

\(i(_{n}^{2n}\textrm{})\)

Ou seja, a demonstração dá-me errado!!
Não consigo perceber porquê...

Alguém me pode ajudar a concluir este exercício?

Cumprimentos

Não consegui resolver este exercíco com a Convolução de Vandermonde
e acho que nem sequer se pode aplicar neste caso...

Mas continuo sem perceber como concluir este exercício...

Pode e deve aplicar a identidade de Vandermonde. Mas primeiro, use a seguinte identidade:

\(i{n\choose i}=\frac{i\cdot n!}{i!\cdot (n-i)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{(i-1)!\cdot (n-i)!}=n{n-1 \choose i-1}\)

Assim sendo,

\(\sum_{i=0}^{n}i{n\choose i}^2=\sum_{i=0}^{n}n{n-1 \choose i-1}{n\choose i}=n\sum_{i=0}^{n}{n-1 \choose n-i}{n\choose i}=n{2n-1\choose n}\)

Rui Carpentier:

Muito obrigado pelo esclarecimento!
Já estou a começar a perceber como resolver este tipo de exercícios!

Cumprimentos