Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, venho mais uma vez colocar uma questão que não consegui resolver...


Por recurso ao metodo de inducao matematica prove que:

\(\sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n\right)}\)


Já consegui provar o caso base n=1 que deu 1/35

Não consegui foi acabar de provar a Tese de Indução

\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n+1}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n+1\right)}\)

Pelos meus cálculos ficaria:

\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)

substituindo pela hipótese de indução

\(= \frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)

e empanquei aqui...

Podem ajudar-me a concluir este exercício?

Cumprimentos

Bem, vc prosseguiu muito bem, agora é mesmo só contas hard core

\(\frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}=\\ =\frac{n}{5\cdot\left(2n+5\right) } + \frac{1}{\left(2n+5\right) ( 2n+7)}=\\ =\frac{n(2n+7)+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{2n^2+7n+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{(n+1)(2n+5)}{5(2n+5)(2n+7)}=\\ =\frac{n+1}{5(2n+7)}\\ c.q.d.\)

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João Pimentel Ferreira
 
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João Ferreira .... excelente!!

Como é que eu não consegui reduzir ao mínimo múltiplo comum?
Tenho de parar de multiplicar o divisor das fracções uns pelos outros sem pensar...

Bastava multiplicar as porções que faltavam em cada divisor!! que parvoíce! :P

Obrigado pelos esclarecimentos,
as minhas contas só ainda são soft core...

Cumprimentos

Sempre às ordens

Já vi que tem alguns conhecimentos em Matemática, aproveite e use-os de vez em quando para ajudar os outros quando puder

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Obrigado pelo elogio!

Se vir perguntas às quais consiga responder
vou tentar ajudar outros utilizadores deste fórum!

Cumprimentos

Muito obrigado

A comunidade agradece

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