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Demonstração envolvendo Série de Fourier https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12266 |
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Autor: | Estudioso [ 24 jan 2017, 03:22 ] |
Título da Pergunta: | Demonstração envolvendo Série de Fourier |
As expressões abaixo referem-se aos coeficientes de Fourier: \(a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx\) \(a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\) \(b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\) i) Demonstre que quando \(f(x)\) é par a série de Fourier é escrita por: \(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}x)\), sendo que: \(a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx\) \(a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\) ii) Demonstre também que se \(f(x)\) for ímpar a série de Fourier é escrita por: \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}x)\), sendo que: \(b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}x)\,dx\) |
Autor: | pedrodaniel10 [ 24 jan 2017, 06:17 ] |
Título da Pergunta: | Re: Demonstração envolvendo Série de Fourier |
1) Se f é par então: \(f(-x)=f(x)\) \((1)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\cos\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx (2)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\sin\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=0\) bn é 0 logo o termo do sin desaparece. 2) Se f é ímpar então: \(f(-x)=-f(x)\) \((1)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\cos\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=0 (2)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\sin\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx\) O a0 similarmente se comprova que é 0. an é 0 logo o termo do cos desaparece. |
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