Série convergente ou divergente? Calcule sua soma

[Estudioso]

Boa noite!

A série é convergente ou divergente? Caso seja convergente, calcule sua soma.

\(\sum_{n=0}^{\infty }cos(n\pi)\)

Posso dizer que a série é geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão igual -1?

Como resolvo esse exercício?

Agradeço

[Sobolev]

O termo geral de uma série convergente é necessariamente um infinitésimo, o que não acontece no caso proposto. Assim, a série é divergente.

[Edsonrs]

S=1-1+1-1-1+1-1-1+1 .....
S=1-(1-1+1-1-1+1-1-1+1 .....)
S=1-S
2*S=1
S=1/2

Alguém discorda?

[Sobolev]

Sim, não é possível fazer o que sugere... Se de facto a soma da série for um número real S, não pode descartar um termo e ficar com a mesma soma. É quase um paradoxo... as suas conclusões apontam para uma soma de 1/2, mas se a soma for 1/2 então as conclusões não são verdadeiras! Uma ideia semelhante à que propõe pode ser seguida usando a média de Cesaro, mas isso corresponde a uma outra noção de convergência.

[Edsonrs]

Você não fez uso de nenhuma argumentação logico-matemática. Este procedimento é usado em uma série de cálculos com infinitos termos sem questionamentos.

[Sobolev]

Sem dizer qual a definição de série convergente, não é possível responder à pergunte "a série é convergente?". A definição usual de série convergente (e é a usual por boas razões) é a de que uma série é convergente se a sucessão das somas parciais é convergente, o que não sucede neste caso, onde a sucessão das somas parciais alterna entre 1 e zero. O símbolo "..." é das coisas mais perigosas em matemática, provocando todo o tipo de equívocos. Senão veja outras somas que poderíamos encontrar usando lógica semelhante:

\(1-1+1-1+1-1+1-1+ \cdots = (1-1)+(1-1)+(1-1) +\cdots = 0 + 0+ 0+ \cdots =0\)

ou

\(1-1+1-1+1-1+1-1+ \cdots = 1+ (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \cdots = 1+ 0 +0+0+ \cdots =1\)

[Sobolev]

O valor 1/2 que refere é a "soma de Cesaro" da série... mas como disse isso corresponde a outra noção de convergência. A soma de Cesaro correspondente a \(\sum_{i=1}^{+\inft} a_n\) é definida como

\(C = \lim_{n \to \infty} \left(\frac 1n \sum_{i=1}^n a_i \right)\).

Esta noção de convergência tem um papel importante nas séries de fourier e noutras situações onde é conveniente associar um valor real a uma série divergente.

[Edsonrs]

A sequencia tem uma soma de Cesàro bem definida e eu confesso que quando penso finitamente, vejo a série como divergente/oscilante, mas em termos de infinito prefiro a continha acima do que tentar filosofar.

[Sobolev]

Quando elege a "continha" que refere, em vez por exemplo das duas alternativas que apresentei, como sendo a forma "natural" de definir uma possível soma daquela série, está claramente a fazer uma opção estética/filosófica. Uma continha raramente é apenas uma continha, e por isso matemática é tão rica!

[Edsonrs]

É, ....

Pode-se dizer que eu concordo com você.