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Boa noite!

A série \(\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\frac{3}{2^n}\) converge ou diverge?

O gabarito da questão diz que a série converge e sua soma é -2.

Pensei em reescrever a série como \(3\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\frac{1}{2^n}\)

A série \(\sum_{n=0}^{\infty }\,\frac{1}{2^n}\) é geométrica com primeiro termo igual 1 e razão r = 1/2. Como |r| < 1, a série é dita convergente e sua soma é dada por:

\(S_{n}=\frac{a}{1-r}\), sendo "a" o seu primeiro termo e "r" a razão.

Logo,

\(S_{n}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\)

Minha dúvida é se realmente essa série vai convergir uma vez que (-1)^(n+1) fica oscilando entre -1 e 1.

Agradeço a quem puder me explicar.

Obrigado

Como a série é absolutamente convergente (\(|3(-1)^{n+1}/2^n| \leq 3/2^n\)), ela é também convergente e pode decompor a série separando os termos pares dos termos impares sem alterar a sua soma. Assim, a soma dos termos pares (n par) é dada por

\(-3 (1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4} + \cdots) = -3((1/4)^0+ (1/4)^1+(1/4)^2 + \cdots ) = -3 \frac{1}{1-1/4} = -4\)

Já a soma dos termos impares (n impar) é dada por

\(3(\frac 12 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \cdots)= \frac32 (1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \cdots) = \frac 32 ((1/4)^0 + (1/4)^1+(1/4)^2+\cdots)= 2\)

Somando todos os termos (pares e impares) ontem realmente uma soma de -4+2=-2.

NOTA: É essencial verificar que a série é absolutamente convergente... Se a série fosse simplesmente convergente poderíamos construir permutações dos seus termos cuja soma fosse qualquer número desejado.