Séries alternadas, de Dirichlet, de Mengoli, convergência de uma série, série geométrica e linear, limite de sucessões/sequências, convergência e monotonia assim como máximos e mínimos, supremos ou ínfimos, majorantes e minorantes
24 jun 2016, 03:01
Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum.
A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente?
Obrigado
24 jun 2016, 03:33
Olá amigo, seja bem-vindo!!
Leibniz Escreveu:Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum.
A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente?
Obrigado
De acordo com a definição de sequências, se o limite de \(a_n\) existir, então a sequência irá CONVERGIR; mas se o limite de \(a_n\) não existir ou for \(\infty\), então a sequência será divergente. Isto posto, temos que: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{10 + n}} = \frac{\infty}{\infty}\).
A Regra de L'Hôspital não se aplica em séries, desse modo devemos aplicar o teorema abaixo:
\(\fbox{\text{Se} \ \ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \ \ \text{e} \ \ f(n) = a_n, \ \ \text{ent}\widetilde{a}\text{o} \ \ \lim_{n \to \infty} a_n = L.}\)
Daí,
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{10 + x}} =\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(10 + x)^{\frac{1}{2}}} =\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (10 + x)^{- \frac{1}{2}}} =\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{(10 + x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} =\)
\(\lim_{x \to \infty} 2 \cdot \sqrt{10 + x} =\)
\(\fbox{\infty}\)
Portanto, DIVERGENTE!
24 jun 2016, 03:53
Agradeço a rápida resposta meu amigo!
Não entendi a aplicação desse Teorema
Uma outra dúvida: Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries?
Agradeço muito no que puder ajudar.
25 jun 2016, 14:18
A Regra de L'Hôspital aplica-se em funções. Desse modo, em se tratando de sequência/série devemos fazer uso do teorema!
A grosso modo, podemos ver o teorema em questão como uma forma de aplicar a Regra de L'Hôspital em algo que não é uma função.
26 jun 2016, 02:22
Boa Noite a todos ! O teorema acima citado não faz sentido para sequencias (reais) (em particular séries(reais) ) . Pois , uma sequência em um conjunto (qualquer) \(X\) é uma função \(a : \mathbb{N} \longrightarrow X , n \mapsto a(n) =: a_n\) . O que seria um ponto de acumulação em \(\mathbb{N}\) ? Agora , se dada uma sequência (real) \((a_n )\) , e a mesma admitir uma extensão em \(\mathbb{R}\) ou num intervalo ilimitado superiormente .. O estudo desta sequência se resume em estudar o limite da extensão da sequência com \(x \to + \infty\) e neste caso , o leitor poderá usar varias ferramentas do calculo 1 com finalidade determinar o limite, caso depare com indeterminações .
Vejamos uma solução alternativa ... A ideia é minorar o termo da seq. por outro que fica arbitrariamente positivamente grande ... Ora , claro que
\(\frac{n}{\sqrt{10+ n} } = \frac{10 + n }{\sqrt{10 + n}} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } = \sqrt{10 + n} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } > \sqrt{10 + n} - 10\) .
Daí \(\lim( \frac{n}{\sqrt{10+ n} } ) > \lim (\sqrt{10 + n} - 10) = + \infty\) .Ou ainda , sem usar a minoração , observe também que no segundo membro da igualdade , passando ao limite com \(n \to + \infty\) , uma das parcelas diverge para \(+ \infty\) enquanto a outra converge para zero .
27 jun 2016, 00:09
Santhiago, o teorema faz realmente sentido... Pode pensar na sucessão como a restrição a \(\mathbb{N}\) de uma função de variável real. Nesse caso, o limite da sucessão (se existir) será um sublime da função real, quando \(x\to \infty\). Assim, se o limite da função real existir, o da sucessão também existe, e tem o mesmo valor.
Dito isto, neste caso, realmente o modo que apresentou é o mais simples.
27 jun 2016, 01:03
Olá amigos!
Só tem peixe grande por aqui
Vocês conhecem bastante..
Esse é até um exemplo resolvido do meu livro. Na resolução apresentada pelo autor é feito o seguinte:
Dividindo o numerador e o denominador por "n", tem-se:
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{10+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{n^2}+\frac{1}{n}}}=\infty\)
A conclusão é feita da seguinte forma: Porque o numerador é constante e o denominador se aproxima de zero. Então {a
n} é
divergente.
Pelo pouco que sei, acredito que deveria ser dito que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente à sequência, mas sim à funções de uma variável real. Apresentar a resolução proposta pelo danjr5 e, concluir usando o teorema exposto para dizer que a função é divergente. Seria o bastante para acertar a questão caso caísse numa prova?
Agradeço
27 jun 2016, 01:37
Boa Noite ! Sobolev , me perdoe . Quando eu escrevi "Teorema " meu objetivo foi na verdade dizer "Regra de L'hospital " com finalidade de responder a pergunta feita pelo "Leibniz" acima (..." Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries? " ) . Meu argumento continua valido ? Certo ? Pois , se N nao tem ponto de acumulação (limit point ) , então o conceito de derivada não faz sentido em \(\mathbb{N}\) . Assim sendo , o resultado acima não se aplica diretamente à sequencias (em particular séries ) .
Entretanto , tomando uma extensão da sequencia a toda reta ou mesmo a um intervalo ilimitado superiormente o leitor poderá determinar o limite da sequencia como o limite da extensão com \(x \to + \infty\) (Como foi mencionado ) . Caso este limite exista, este será o valor do limite da sequencia . Caso não exista , ainda assim pode existir o limite da sequencia .
No caso especifico , tal sequencia admite uma extensão (\(C^{\infty}\) ) natural ao intervalo aberto \((-10 ,+ \infty )\) dada por \(x \mapsto a(x)\)
27 jun 2016, 10:39
Está tudo certo Santhiago, eu é que não percebi a que resultado se referia!
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