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Sequência - Convergente ou divergente? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=11425 |
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Autor: | Leibniz [ 24 jun 2016, 03:01 ] |
Título da Pergunta: | Sequência - Convergente ou divergente? |
Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum. A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente? Obrigado |
Autor: | danjr5 [ 24 jun 2016, 03:33 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Olá amigo, seja bem-vindo!! Leibniz Escreveu: Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum. A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente? Obrigado De acordo com a definição de sequências, se o limite de \(a_n\) existir, então a sequência irá CONVERGIR; mas se o limite de \(a_n\) não existir ou for \(\infty\), então a sequência será divergente. Isto posto, temos que: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{10 + n}} = \frac{\infty}{\infty}\). A Regra de L'Hôspital não se aplica em séries, desse modo devemos aplicar o teorema abaixo: \(\fbox{\text{Se} \ \ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \ \ \text{e} \ \ f(n) = a_n, \ \ \text{ent}\widetilde{a}\text{o} \ \ \lim_{n \to \infty} a_n = L.}\) Daí, \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{10 + x}} =\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(10 + x)^{\frac{1}{2}}} =\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (10 + x)^{- \frac{1}{2}}} =\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{(10 + x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} =\) \(\lim_{x \to \infty} 2 \cdot \sqrt{10 + x} =\) \(\fbox{\infty}\) Portanto, DIVERGENTE! |
Autor: | Leibniz [ 24 jun 2016, 03:53 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Agradeço a rápida resposta meu amigo! Não entendi a aplicação desse Teorema Uma outra dúvida: Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries? Agradeço muito no que puder ajudar. |
Autor: | danjr5 [ 25 jun 2016, 14:18 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
A Regra de L'Hôspital aplica-se em funções. Desse modo, em se tratando de sequência/série devemos fazer uso do teorema! A grosso modo, podemos ver o teorema em questão como uma forma de aplicar a Regra de L'Hôspital em algo que não é uma função. |
Autor: | santhiago [ 26 jun 2016, 02:22 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Boa Noite a todos ! O teorema acima citado não faz sentido para sequencias (reais) (em particular séries(reais) ) . Pois , uma sequência em um conjunto (qualquer) \(X\) é uma função \(a : \mathbb{N} \longrightarrow X , n \mapsto a(n) =: a_n\) . O que seria um ponto de acumulação em \(\mathbb{N}\) ? Agora , se dada uma sequência (real) \((a_n )\) , e a mesma admitir uma extensão em \(\mathbb{R}\) ou num intervalo ilimitado superiormente .. O estudo desta sequência se resume em estudar o limite da extensão da sequência com \(x \to + \infty\) e neste caso , o leitor poderá usar varias ferramentas do calculo 1 com finalidade determinar o limite, caso depare com indeterminações . Vejamos uma solução alternativa ... A ideia é minorar o termo da seq. por outro que fica arbitrariamente positivamente grande ... Ora , claro que \(\frac{n}{\sqrt{10+ n} } = \frac{10 + n }{\sqrt{10 + n}} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } = \sqrt{10 + n} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } > \sqrt{10 + n} - 10\) . Daí \(\lim( \frac{n}{\sqrt{10+ n} } ) > \lim (\sqrt{10 + n} - 10) = + \infty\) .Ou ainda , sem usar a minoração , observe também que no segundo membro da igualdade , passando ao limite com \(n \to + \infty\) , uma das parcelas diverge para \(+ \infty\) enquanto a outra converge para zero . |
Autor: | Sobolev [ 27 jun 2016, 00:09 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Santhiago, o teorema faz realmente sentido... Pode pensar na sucessão como a restrição a \(\mathbb{N}\) de uma função de variável real. Nesse caso, o limite da sucessão (se existir) será um sublime da função real, quando \(x\to \infty\). Assim, se o limite da função real existir, o da sucessão também existe, e tem o mesmo valor. Dito isto, neste caso, realmente o modo que apresentou é o mais simples. |
Autor: | Leibniz [ 27 jun 2016, 01:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Olá amigos! Só tem peixe grande por aqui Vocês conhecem bastante.. Esse é até um exemplo resolvido do meu livro. Na resolução apresentada pelo autor é feito o seguinte: Dividindo o numerador e o denominador por "n", tem-se: \(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{10+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{n^2}+\frac{1}{n}}}=\infty\) A conclusão é feita da seguinte forma: Porque o numerador é constante e o denominador se aproxima de zero. Então {an} é divergente. Pelo pouco que sei, acredito que deveria ser dito que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente à sequência, mas sim à funções de uma variável real. Apresentar a resolução proposta pelo danjr5 e, concluir usando o teorema exposto para dizer que a função é divergente. Seria o bastante para acertar a questão caso caísse numa prova? Agradeço |
Autor: | santhiago [ 27 jun 2016, 01:37 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Boa Noite ! Sobolev , me perdoe . Quando eu escrevi "Teorema " meu objetivo foi na verdade dizer "Regra de L'hospital " com finalidade de responder a pergunta feita pelo "Leibniz" acima (..." Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries? " ) . Meu argumento continua valido ? Certo ? Pois , se N nao tem ponto de acumulação (limit point ) , então o conceito de derivada não faz sentido em \(\mathbb{N}\) . Assim sendo , o resultado acima não se aplica diretamente à sequencias (em particular séries ) . Entretanto , tomando uma extensão da sequencia a toda reta ou mesmo a um intervalo ilimitado superiormente o leitor poderá determinar o limite da sequencia como o limite da extensão com \(x \to + \infty\) (Como foi mencionado ) . Caso este limite exista, este será o valor do limite da sequencia . Caso não exista , ainda assim pode existir o limite da sequencia . No caso especifico , tal sequencia admite uma extensão (\(C^{\infty}\) ) natural ao intervalo aberto \((-10 ,+ \infty )\) dada por \(x \mapsto a(x)\) |
Autor: | Sobolev [ 27 jun 2016, 10:39 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequência - Convergente ou divergente? |
Está tudo certo Santhiago, eu é que não percebi a que resultado se referia! |
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