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MensagemEnviado: 24 jun 2016, 03:01 
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Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum.

A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente?

Obrigado


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MensagemEnviado: 24 jun 2016, 03:33 
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Olá amigo, seja bem-vindo!!

Leibniz Escreveu:
Amigos, sou novato aqui no fórum e estou precisando de uma ajuda na resolução deste exercício. Estou começando o meu estudo sobre sequências e séries. Espero muito também poder contribuir com a expansão do conhecimento mútuo aqui no fórum.

A sequência \(a_{n}=\frac{n}{\sqrt{10+n}}\) é convergente ou divergente?

Obrigado


De acordo com a definição de sequências, se o limite de \(a_n\) existir, então a sequência irá CONVERGIR; mas se o limite de \(a_n\) não existir ou for \(\infty\), então a sequência será divergente. Isto posto, temos que: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{10 + n}} = \frac{\infty}{\infty}\).

A Regra de L'Hôspital não se aplica em séries, desse modo devemos aplicar o teorema abaixo:

\(\fbox{\text{Se} \ \ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \ \ \text{e} \ \ f(n) = a_n, \ \ \text{ent}\widetilde{a}\text{o} \ \ \lim_{n \to \infty} a_n = L.}\)

Daí,

\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{10 + x}} =\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(10 + x)^{\frac{1}{2}}} =\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (10 + x)^{- \frac{1}{2}}} =\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{(10 + x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} =\)

\(\lim_{x \to \infty} 2 \cdot \sqrt{10 + x} =\)

\(\fbox{\infty}\)

Portanto, DIVERGENTE!

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Daniel Ferreira
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MensagemEnviado: 24 jun 2016, 03:53 
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Agradeço a rápida resposta meu amigo!

Não entendi a aplicação desse Teorema :(

Uma outra dúvida: Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries?

Agradeço muito no que puder ajudar.


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MensagemEnviado: 25 jun 2016, 14:18 
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A Regra de L'Hôspital aplica-se em funções. Desse modo, em se tratando de sequência/série devemos fazer uso do teorema!

A grosso modo, podemos ver o teorema em questão como uma forma de aplicar a Regra de L'Hôspital em algo que não é uma função.

_________________
Daniel Ferreira
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MensagemEnviado: 26 jun 2016, 02:22 
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Boa Noite a todos ! O teorema acima citado não faz sentido para sequencias (reais) (em particular séries(reais) ) . Pois , uma sequência em um conjunto (qualquer) \(X\) é uma função \(a : \mathbb{N} \longrightarrow X , n \mapsto a(n) =: a_n\) . O que seria um ponto de acumulação em \(\mathbb{N}\) ? Agora , se dada uma sequência (real) \((a_n )\) , e a mesma admitir uma extensão em \(\mathbb{R}\) ou num intervalo ilimitado superiormente .. O estudo desta sequência se resume em estudar o limite da extensão da sequência com \(x \to + \infty\) e neste caso , o leitor poderá usar varias ferramentas do calculo 1 com finalidade determinar o limite, caso depare com indeterminações .

Vejamos uma solução alternativa ... A ideia é minorar o termo da seq. por outro que fica arbitrariamente positivamente grande ... Ora , claro que

\(\frac{n}{\sqrt{10+ n} } = \frac{10 + n }{\sqrt{10 + n}} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } = \sqrt{10 + n} - 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10+n} } > \sqrt{10 + n} - 10\) .

Daí \(\lim( \frac{n}{\sqrt{10+ n} } ) > \lim (\sqrt{10 + n} - 10) = + \infty\) .Ou ainda , sem usar a minoração , observe também que no segundo membro da igualdade , passando ao limite com \(n \to + \infty\) , uma das parcelas diverge para \(+ \infty\) enquanto a outra converge para zero .


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MensagemEnviado: 27 jun 2016, 00:09 
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Santhiago, o teorema faz realmente sentido... Pode pensar na sucessão como a restrição a \(\mathbb{N}\) de uma função de variável real. Nesse caso, o limite da sucessão (se existir) será um sublime da função real, quando \(x\to \infty\). Assim, se o limite da função real existir, o da sucessão também existe, e tem o mesmo valor.

Dito isto, neste caso, realmente o modo que apresentou é o mais simples.


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MensagemEnviado: 27 jun 2016, 01:03 
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Olá amigos!

Só tem peixe grande por aqui :)

Vocês conhecem bastante..

Esse é até um exemplo resolvido do meu livro. Na resolução apresentada pelo autor é feito o seguinte:

Dividindo o numerador e o denominador por "n", tem-se:

\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{10+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{n^2}+\frac{1}{n}}}=\infty\)

A conclusão é feita da seguinte forma: Porque o numerador é constante e o denominador se aproxima de zero. Então {an} é divergente.

Pelo pouco que sei, acredito que deveria ser dito que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente à sequência, mas sim à funções de uma variável real. Apresentar a resolução proposta pelo danjr5 e, concluir usando o teorema exposto para dizer que a função é divergente. Seria o bastante para acertar a questão caso caísse numa prova?

Agradeço


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MensagemEnviado: 27 jun 2016, 01:37 
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Boa Noite ! Sobolev , me perdoe . Quando eu escrevi "Teorema " meu objetivo foi na verdade dizer "Regra de L'hospital " com finalidade de responder a pergunta feita pelo "Leibniz" acima (..." Por que a Regra de L'Hôspital não se aplica diretamente às séries? " ) . Meu argumento continua valido ? Certo ? Pois , se N nao tem ponto de acumulação (limit point ) , então o conceito de derivada não faz sentido em \(\mathbb{N}\) . Assim sendo , o resultado acima não se aplica diretamente à sequencias (em particular séries ) .

Entretanto , tomando uma extensão da sequencia a toda reta ou mesmo a um intervalo ilimitado superiormente o leitor poderá determinar o limite da sequencia como o limite da extensão com \(x \to + \infty\) (Como foi mencionado ) . Caso este limite exista, este será o valor do limite da sequencia . Caso não exista , ainda assim pode existir o limite da sequencia .

No caso especifico , tal sequencia admite uma extensão (\(C^{\infty}\) ) natural ao intervalo aberto \((-10 ,+ \infty )\) dada por \(x \mapsto a(x)\)


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MensagemEnviado: 27 jun 2016, 10:39 
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Está tudo certo Santhiago, eu é que não percebi a que resultado se referia!


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