Encontre os quatro elementos da sequência de somas parciais (Sn) obtenha uma fórmula para Sn...

[Caruso]

Boa noite, pessoal.

O RIBER já fez uma pergunta similar a esta aqui no fórum (viewtopic.php?f=11&t=10542), a qual, gentilmente, foi respondida pelo nosso amigo Sobolev, porém estou ainda com dúvida para resolver em outra situação. Peço que vocês me ajudem a desenvolver o cálculo.

Segue a pergunta:

[b]Encontre os quatro elementos da sequência de somas parciais \(\left ( S_{n} \right )\) e obtenha uma fórmula para \(S_{n}\) em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.

\(\sum_{n=1}^{\infty }sen\pi n\)
[/b]

[Sobolev]

Boa tarde,

Quando calculamos os primeiros termos da sucessão das somas parciais podemos ficar com uma ideia da sua expressão geral... Neste caso,

\(S_1 = \sin \pi = 0
S_2 = S_1 + \sin 2 \pi = 0
S_3 = S_2 + \sin 3 \pi = 0
S_4 = S_3 + \sin 4 \pi = 0
\vdots
S_n = S_{n-1} + \sin (n \pi) = 0\)

Vemos que \(S_n = 0\). Trata-se por isso de uma sucassão convergente, cujo limite é zero. Assim, a série é convergente e o seu limite é 0.