Coordenadas cilíndricas | Cálculo do centro de massa

[deba_andrade]

Calcule o centro de massa da região D c R³, dada pela intersecção da superfície (x - a)² + (y - a)² = a², (a > 0), entre os planos x = 0, y = 0, z = 0 e
z = c > 0.

PS: pelo q eu vejo, a região parece ser um cilindro com centro fora da origem, ou seja, com centro em (a,a). Daí, usando coordenadas cilíndricas, eu tiro que z vai de 0 à c, obviamente. Mas o que eu não consigo achar são os limites de r e teta. Como faço para achar esses limites em coordenadas cilíndricas?

[Sobolev]

Neste caso as coordenadas cilindricas não são a melhor opção... será mehor deslocar o centro do referencial, considerando a mudança de coordenadas

\(x = a + \rho \cos \theta
y = a + \rho \sin \theta
z = z\)

Ficará então com

\(\iiint_D f(x,y,z)dx dy dz = \int_0^a \int_0^{2 \pi} \int_0^c \rho f(a+\rho \cos \theta, a+\rho \sin \theta, z) dz d \theta \rho\)

As coordenadas do centroide ( que coincidem com as doc entro de massa se a densidade for constante) podem agora ser calculadas com integrais adequados, aplicando em cada caso a fórmula acima.